Analise cada um dos sistemas abaixo, onde k é um número real.
y+12 z & =32 4 x+2 y & =4 4 y+k z & =k

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
y+tfrac12z=tfrac32, 4x+2y=4, 4y+kz=k,
com incógnitas x,y,z e parâmetro real k. Queremos investigar para quais valores de k o sistema é impossível, possível e determinado (única solução) ou possível e indeterminado (infinitas soluções). Vamos usar eliminação de Gauss e discutir o caso k-2=0.

Passo 2

Da primeira equação isolo y:
y = tfrac32 - tfrac12,z

Passo 3

Substituo esse y na segunda equação 4x+2y=4:
4x + 2l(tfrac32 - tfrac12zr) = 4 Longrightarrow 4x + 3 - z = 4 Longrightarrow 4x = 1 + z Longrightarrow x = tfrac1+z4

Passo 4

Agora uso as expressões de y e z na terceira equação 4y+kz=k. Primeiro substituo y=tfrac32-tfrac12z:
4l(tfrac32 - tfrac12zr) + k,z = k Longrightarrow 6 - 2z + kz = k Longrightarrow (k-2),z = k - 6

Passo 5

Analisamos dois casos:
  • Se k-2neq0, então
    z = k-6k-2,
    de onde
    y = tfrac32 - tfrac12 z = kk-2, x = 1+z4 = k-42(k-2)
    Há solução única.
  • Se k-2=0, i.e.\ k=2, a equação reduzida é
    0 cdot z = 2-6 = -4,
    o que é impossível. Logo não há solução.
Não surge caso de infinitas soluções.

Resposta

Para k=2 o sistema é impossível (sem solução).
Para todo kneq2 o sistema tem solução única dada por
x = k-42(k-2), y = k,k-2,, z = k-6,k-2,

Exercícios relacionados