Responda se cada uma das afirmações abaixo é falsa ou verdadeira e justifique sua resposta:
Det(A)=Det(A^-1)

Passo 1

O enunciado pergunta se, para uma matriz invertível A, vale sempre
det(A)=detl(A^-1r)
O conteúdo aqui é a propriedade de determinante de matrizes inversas, que diz como det(A^-1) se relaciona com det(A).

Passo 2

Lembremos da propriedade básica de determinantes: se A é invertível, então
detl(A^-1r)=1det(A)
Isso vem do fato de que A,A^-1=I e det(I)=1, logo
det(A),detl(A^-1r)=1

Passo 3

Para que se tenha det(A)=det(A^-1), usando det(A^-1)=1/det(A), basta resolver
det(A)=1det(A)
Multiplicando ambos os lados por det(A) surge
det(A)^2=1 Longrightarrow det(A)=pm1

Passo 4

Concluímos que a igualdade det(A)=det(A^-1) só ocorre quando det(A)=1 ou det(A)=-1. Para uma matriz invertível qualquer, cujo determinante pode ser outro número, essa igualdade não vale em geral.

Resposta

A afirmação é falsa em geral (só é verdadeira se, e somente se, det(A)=pm1).

Exercícios relacionados