Encontre o valor de k, de modo que o sistema cx-2 y+3 z=-4 5 x-6 y+7 z=-8 6 x-8 y+k z=-12 seja indeterminado

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações e três incógnitas
x - 2y + 3z = -4, 5x - 6y + 7z = -8, 6x - 8y + k,z = -12,
e pede o valor de k para que o sistema seja indeterminado (ou seja, tenha infinitas soluções).
Conteúdo necessário: condição de indeterminação em sistemas 3times3, que exige det(A)=0 e que o sistema permaneça compatível (rank da matriz dos coeficientes igual ao rank da matriz aumentada).

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = 1 & -2 & 3 5 & -6 & 7 6 & -8 & k
e calculamos seu determinante por expansão na primeira linha:
det(A) = 1cdot-6 & 7-8 & k -(-2)cdot5 & 76 & k +3cdot5 & -66 & -8
Agora cada determinante 2times2:
-6 & 7-8 & k=(-6)k - (7)(-8)=56 - 6k,
5 & 76 & k=5k - 42,
5 & -66 & -8=5cdot(-8)-(-6)cdot6=-40+36=-4
Substituindo,
det(A) = (56-6k) +2,(5k-42) +3,(-4) =56-6k +10k -84 -12 =4k -40

Passo 3

Para o sistema ser indeterminado precisamos de det(A)=0, logo
4k - 40 = 0 Longrightarrow k = 10

Passo 4

Ainda devemos verificar que, com k=10, o sistema é compatível. Substituindo na terceira equação obtemos
6x - 8y +10z = -12
Note que somando a primeira e a segunda equação temos
(x - 2y +3z) + (5x -6y +7z) =6x -8y +10z e -4 + (-8) = -12,
ou seja, a terceira equação é exatamente a soma das duas primeiras. Isso garante que o rank da matriz dos coeficientes e da matriz aumentada sejam iguais a 2, tornando o sistema compatível indeterminado.

Resposta

k = 10

Exercícios relacionados