Analise cada um dos sistemas abaixo, onde k é um número real.
2 y+z & =3 2 x+y & =2 4 y+k z & =k

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear em
onde o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para isso, vamos usar eliminação e estudar a consistência em função de .

Passo 2

Da segunda equação
2x + y = 2
isolamos x:
x = 2 - y2

Passo 3

Das equações
2y + z = 3
e
4y + kz = k
primeiro expressamos
z = 3 - 2y
pela primeira, e substituímos na terceira:
4y + k(3 - 2y) = k

Passo 4

Reescrevendo
4y + 3k -2ky = k Longrightarrow (4 - 2k),y = -2k,
logo, para k neq 2,
y = -2k4 - 2k = -k2 - k
Em seguida,
z = 3 - 2y = 3 - 2l(-k2 - kr) = 6 - k2 - k

Passo 5

Voltando em x = tfrac2 - y2, para k neq 2 temos
x = 2 - l(-k2 - kr)2 = 4 - k2(2 - k)

Passo 6

O denominador 2 - k zera quando k = 2. Nesse caso as duas primeiras equações dão
2y + z = 3 Longrightarrow 4y + 2z = 6,
que é incompatível com a terceira, que para k=2 seria
4y + 2z = 2
Portanto, para k = 2 o sistema não tem solução.

Resposta

Para k neq 2 o sistema tem solução única
x = 4 - k2(2 - k), y = -k2 - k, z = 6 - k2 - k
Para k = 2 o sistema é impossível (nenhuma solução).

Exercícios relacionados