Na análise de certos fenômenos geológicos, muitas vezes é apropriado supor que a pressão em um dado nível de compensação horizontal, muito abaixo da superfície, é a mesma em uma vasta região e é igual à pressão produzida pelo peso das rochas que se encontram acima desse nível. Assim, a pressão no nível de compensação é dada pela mesma fórmula usada para calcular a pressão de um fluido. Esse modelo exige, entre outras coisas, que as montanhas tenham raízes de rochas continentais que penetram no manto mais denso. Considere uma montanha de altura H=7,0 km em um continente de espessura T=30 km. As rochas continentais têm massa específica rhoc=3,0 g / cm^3, e o manto que fica abaixo dessas rochas tem massa específica de rhom=3,2 g / cm^3.
(a) (1,5) Considere que as condições do modelo são satisfeitas e calcule a distancia D da raiz.
(b) (1,0) Agora considere que as condições do modelo não são satisfeitas, ou seja, as pressões nos pontos a e b não são iguais. Suponha que D=50 km. Calcule a diferença de pressão, p a-p b, entre os pontos be a.

Passo 1

O enunciado dá uma montanha de altura H=7,0;km sobre um continente de espessura de crosta T=30;km. A densidade da crosta continental é rhoc=3,0;g/cm^3=3000;kg/m^3 e a do manto é rhom=3,2;g/cm^3=3200;kg/m^3. Para (a) usamos o modelo de isostasia de Airy, que exige igualar as pressões no nível de compensação; para (b) calculamos a diferença de pressão entre as colunas, agora com raiz D=50;km.

Passo 2

Em isostasia de Airy, a pressão sob a montanha na profundidade de compensação (debaixo da raiz) deve igualar a pressão sob a região plana.
Sob a montanha, até a profundidade de compensação temos coluna de crosta de espessura H+T+D e densidade rhoc.
Sob a região plana, temos coluna de crosta de espessura T e densidade rhoc, seguida de coluna de manto de espessura D e densidade rhom.
Igualando pressões:
g,rhocl(H+T+Dr) ;=; gl(rhoc,T+rhom,Dr)

Passo 3

Cancelando g e rhoc,T em ambos os lados:
rhoc,H+rhoc,D=rhom,D Longrightarrow rhoc,H=(rhom-rhoc),D Longrightarrow D=rhoc,Hrhom-rhoc
Substituindo rhoc=3000, rhom-rhoc=200, H=7,0times10^3; m:
D=3000cdot7,0times10^3200 =1,05times10^5; m=105;km

Passo 4

Para (b), com D=50;km=5,0times10^4; m, a diferença de pressão entre a coluna sob a montanha ( pa) e a sob a planície ( pb) é
De<a p=pa-pb = gl[rhoc,(H+T+D)-l(rhoc,T+rhom,Dr)r] = gl[rhoc,H -D(rhom-rhoc)r]
Usando g=9,8;m/s^2, rhoc,H=3000cdot7,0times10^3=2,1times10^7, D(rhom-rhoc)=5,0times10^4cdot200=1,0times10^7,
De<a p =9,8l(2,1times10^7-1,0times10^7r) =9,8times1,1times10^7 approx1,08times10^8;Pa

Resposta

(a) D=1,05times10^5; m=105;km
(b) pa-pbapprox1,08times10^8;Pa

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