Na análise de certos fenômenos geológicos, muitas vezes é apropriado supor que a pressão em um dado nível de compensação horizontal, muito abaixo da superfície, é a mesma em uma vasta região e é igual à pressão produzida pelo peso das rochas que se encontram acima desse nível. Assim, a pressão no nível de compensação é dada pela mesma fórmula usada para calcular a pressão de um fluido. Esse modelo exige, entre outras coisas, que as montanhas tenham raízes de rochas continentais que penetram no manto mais denso. Considere uma montanha de altura
em um continente de espessura
. As rochas continentais têm massa específica
, e o manto que fica abaixo dessas rochas tem massa específica de
.
(a)
Considere que as condições do modelo são satisfeitas e calcule a distancia
da raiz.
(b)
Agora considere que as condições do modelo não são satisfeitas, ou seja, as pressões nos pontos a e b não são iguais. Suponha que
. Calcule a diferença de pressão,
, entre os pontos be a.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado dá uma montanha de altura
sobre um continente de espessura de crosta
. A densidade da crosta continental é
e a do manto é
. Para (a) usamos o modelo de isostasia de Airy, que exige igualar as pressões no nível de compensação; para (b) calculamos a diferença de pressão entre as colunas, agora com raiz
.
Passo 2
Em isostasia de Airy, a pressão sob a montanha na profundidade de compensação (debaixo da raiz) deve igualar a pressão sob a região plana.
Sob a montanha, até a profundidade de compensação temos coluna de crosta de espessura e densidade
.
Sob a região plana, temos coluna de crosta de espessura e densidade
, seguida de coluna de manto de espessura
e densidade
.
Igualando pressões:
Sob a montanha, até a profundidade de compensação temos coluna de crosta de espessura
Sob a região plana, temos coluna de crosta de espessura
Igualando pressões:
Passo 3
Cancelando
e
em ambos os lados:
Substituindo
,
,
:
Passo 4
Para (b), com
, a diferença de pressão entre a coluna sob a montanha (
) e a sob a planície (
) é
Usando
,
,
,
Resposta
(a)
(b)
(b)