Analise e classifique os pontos críticos da função
Passo 1
O enunciado pede para analisar e classificar os pontos críticos de h(x,y)=xy+4x−ln(x²y). O assunto é otimização de funções de duas variáveis: vamos precisar calcular as derivadas parciais para achar o gradiente zero e usar o critério da matriz Hessiana para classificar o ponto.
Passo 2
Primeiro encontramos as derivadas parciais de h:
Para x:
Para y:
Passo 3
Agora igualamos as duas derivadas a zero e resolvemos o sistema
Da segunda equação vem y=1/x. Substituindo na primeira:
Então y=1/(1/4)=4. O ponto (1/4,4) pertence ao domínio (x≠0 e y>0), logo é o único crítico.
Passo 4
Para classificar, calculamos as segundas derivadas e montamos a matriz Hessiana H:
Então em (x,y)=(1/4,4) temos
Passo 5
Usamos o critério dos menores principais:
D1=h_{xx}=32>0
D2=det(H)=32\cdot\tfrac{1}{16}-1=2-1=1>0.
Como D1>0 e D2>0, a Hessiana é definida positiva em (1/4,4), indicando que h tem um mínimo local nesse ponto.
D1=h_{xx}=32>0
D2=det(H)=32\cdot\tfrac{1}{16}-1=2-1=1>0.
Como D1>0 e D2>0, a Hessiana é definida positiva em (1/4,4), indicando que h tem um mínimo local nesse ponto.
Resposta
O único ponto crítico é (1/4,4) e ele é um mínimo local.