Analise e classifique os pontos críticos da função h(x, y)=x y+4 x-ln (x^2 y)

Passo 1

O enunciado pede para analisar e classificar os pontos críticos de h(x,y)=xy+4x−ln(x²y). O assunto é otimização de funções de duas variáveis: vamos precisar calcular as derivadas parciais para achar o gradiente zero e usar o critério da matriz Hessiana para classificar o ponto.

Passo 2

Primeiro encontramos as derivadas parciais de h:
Para x:
partial hpartial x=y+4-ddxl(ln(x^2y)r) = y+4-1x^2ycdot(2xy)=y+4-2x
Para y:
partial hpartial y=x-ddyl(ln(x^2y)r) = x-1x^2ycdot x^2=x-1y

Passo 3

Agora igualamos as duas derivadas a zero e resolvemos o sistema
y+4-dfrac2x=0, x-dfrac1y=0
Da segunda equação vem y=1/x. Substituindo na primeira:
1x+4-2x=0Rightarrow-1x+4=0Rightarrow x=14
Então y=1/(1/4)=4. O ponto (1/4,4) pertence ao domínio (x≠0 e y>0), logo é o único crítico.

Passo 4

Para classificar, calculamos as segundas derivadas e montamos a matriz Hessiana H:
partial^2 hpartial x^2=ddxl(y+4-2xr)=2x^2,
partial^2 hpartial y^2=ddyl(x-1yr)=1y^2,
partial^2 hpartial xpartial y=partialpartial yl(y+4-2xr)=1,
partial^2 hpartial ypartial x=1
Então em (x,y)=(1/4,4) temos
H=32 & 1 1 & tfrac116

Passo 5

Usamos o critério dos menores principais:
D1=h_{xx}=32>0
D2=det(H)=32\cdot\tfrac{1}{16}-1=2-1=1>0.
Como D1>0 e D2>0, a Hessiana é definida positiva em (1/4,4), indicando que h tem um mínimo local nesse ponto.

Resposta

O único ponto crítico é (1/4,4) e ele é um mínimo local.

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