Estude os limites laterais em x=0 das funções f, g,: R-0 R dadas por: f(x)=sin (1x), g(x)=x|x| e h(x)=1x

Passo 1

O enunciado pede para calcular os limites laterais em x=0 das funções f(x)=sin(1/x), g(x)=x/|x| e h(x)=1/x. O conteúdo aqui é limite lateral, ou seja, analisar o comportamento quando x→0– (pela esquerda) e x→0+ (pela direita) de cada função.

Passo 2

Para f(x)=sin(1/x) note que 1/x vai percorrer todos os valores reais (positivos ou negativos) com módulo arbitrariamente grande. A função seno oscila entre –1 e 1 e não se acomoda em nenhum valor quando x→0. Em particular, podemos encontrar sequências x_n→0 tais que sin(1/x_n)→1 e outras tais que sin(1/x_n)→–1. Isso mostra que nem o limite pela esquerda nem o limite pela direita existem.

Passo 3

Para g(x)=x/|x| observe que |x|=–x quando x<0 e |x|=x quando x>0. Logo, para x>0 temos g(x)=1, e para x<0 temos g(x)=–1. Assim,

Passo 4

Para h(x)=1/x vemos que, quando x→0+ (x>0 e pequeno), 1/x→+∞; e quando x→0– (x<0 e |x|→0), 1/x→–∞.

Resposta

limxto0^-f(x) e limxto0^+f(x) não existem;
limxto0^-g(x)=-1, limxto0^+g(x)=1;
limxto0^-h(x)=-infty, limxto0^+h(x)=+infty.

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