Estude os limites laterais em
das funções
dadas por:
,
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular os limites laterais em x=0 das funções f(x)=sin(1/x), g(x)=x/|x| e h(x)=1/x. O conteúdo aqui é limite lateral, ou seja, analisar o comportamento quando x→0– (pela esquerda) e x→0+ (pela direita) de cada função.
Passo 2
Para f(x)=sin(1/x) note que 1/x vai percorrer todos os valores reais (positivos ou negativos) com módulo arbitrariamente grande. A função seno oscila entre –1 e 1 e não se acomoda em nenhum valor quando x→0. Em particular, podemos encontrar sequências x_n→0 tais que sin(1/x_n)→1 e outras tais que sin(1/x_n)→–1. Isso mostra que nem o limite pela esquerda nem o limite pela direita existem.
Passo 3
Para g(x)=x/|x| observe que |x|=–x quando x<0 e |x|=x quando x>0. Logo, para x>0 temos g(x)=1, e para x<0 temos g(x)=–1. Assim,
Passo 4
Para h(x)=1/x vemos que, quando x→0+ (x>0 e pequeno), 1/x→+∞; e quando x→0– (x<0 e |x|→0), 1/x→–∞.