Sejam f: X R, a in X^prime e lim x a f(x)=L>M, mostre que existe de0 tal que f(x)>M para todo x in X com 0<|x-a|.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se limxto af(x)=L e L>M, então existe de0 tal que para todo xin X com 0<|x-a| tem-se f(x)>M. Vamos usar a definição varepsilon- de de limite.

Passo 2

Como L>M, definimos varepsilon = L - M > 0. Pela definição de limite, existe de0 tal que, sempre que 0<|x-a|, vale
|f(x)-L|

Passo 3

Da desigualdade |f(x)-L| segue que
f(x)>L-varepsilon = L-(L-M)=M
Logo, esse de garante que para todo x com 0<|x-a| temos f(x)>M.

Resposta

Basta tomar varepsilon=L-M>0 e usar a definição de limite para obter um de0 tal que se 0<|x-a| então f(x)>M.

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