No caso em que
ccc g(x, y) & = & x y+e^x y x & = & u+v y & = & u-v ,
assinale a alternativa que corresponde a partial gpartial v :
a) 2 u(1+e^u^2-v^2)
b) 1+e^u^2-v^2
c) 0
d) 1+e^u^2+v^2
e) (u+v) e^u v
f) -2 v(1+e^u^2-v^2)

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis g(x,y)=xy+e^xy e as transformações x=u+v e y=u-v. O conteúdo envolvido é derivadas parciais e o uso da regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Calculo as derivadas parciais de g em relação a x e y: sabendo que g(x,y)=xy+e^xy, temos
gx=partialpartial x(xy)+partialpartial x(e^xy)=y+y,e^xy
gy=partialpartial y(xy)+partialpartial y(e^xy)=x+x,e^xy

Passo 3

Aplico a regra da cadeia para obter partial gpartial v:
partial gpartial v=gxpartial xpartial v+gypartial ypartial v
Como partial xpartial v=1 e partial ypartial v=-1, resulta
partial gpartial v=(y+y,e^xy)-(x+x,e^xy)=(y-x)(1+e^xy)

Passo 4

Substituo x=u+v e y=u-v em (y-x)(1+e^xy):
y-x=(u-v)-(u+v)=-2v, xy=(u+v)(u-v)=u^2-v^2
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partial gpartial v=-2vl(1+e^u^2-v^2r)

Passo 5

Comparando com as alternativas fornecidas, a expressão corresponde à opção f).

Resposta

-2v\left(1+e{u{2}-v^{2}}\right)

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