1. Analise o comportamento das funções sen \left(\frac{1}{x}\right) e x \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right) quando x \rightarrow 0 e quando x \rightarrow \pm \infty

Passo 1

O enunciado pede que eu analise o comportamento, isto é, os limites, das funções \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) e x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) nos seguintes casos:
  • quando x \to 0;
  • quando x \to +\infty e quando x \to -\infty.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • as funções são explicitamente \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) e x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right);
  • não há outras condições (por exemplo, continuidade extra) além da forma das funções.

Passo 2

Analisando \displaystyle \lim_{x\to 0} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right).
Explicação conceitual: a função \sin(t) é limitada entre -1 e 1 para todo t. Aqui o argumento é t=\dfrac{1}{x}. Quando x\to 0, o argumento t=\dfrac{1}{x} explode, isto é, varia muito rápido e atravessa valores que fazem \sin(t) oscilar entre -1 e 1. Para que exista limite em 0 precisamos que todos os caminhos (todas as sequências x_n\to 0) produzam o mesmo valor-limite; se eu encontrar duas sequências que dão limites diferentes, concluo que o limite não existe.
Construção de sequências que mostram que a função oscila:
  • considere x_n^{(1)} = \dfrac{1}{\frac{\pi}{2} + 2\pi n}. Então x_n^{(1)} \to 0 quando n\to\infty e
\sin\!\left(\frac{1}{x_n^{(1)}}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)=1.
  • considere x_n^{(2)} = \dfrac{1}{\frac{3\pi}{2} + 2\pi n}. Então x_n^{(2)} \to 0 e
\sin\!\left(\frac{1}{x_n^{(2)}}\right)=\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right)=-1.
  • considere x_n^{(3)} = \dfrac{1}{n\pi}. Então x_n^{(3)}\to 0 e
\sin\!\left(\frac{1}{x_n^{(3)}}\right)=\sin(n\pi)=0.
Como é possível obter subsequências que convergem a 1, a -1 e a 0, não existe um único valor-limite quando x\to 0. Logo o limite não existe e dizemos que a função \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) oscila entre -1 e 1 ao se aproximar de 0.

Passo 3

Analisando \displaystyle \lim_{x\to 0} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) usando o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).
Primeiro uma desigualdade elementar: para todo x vale |\sin\!(1/x)|\le 1. Multiplicando por |x| obtemos
|x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)| \le |x|.
Agora faço o raciocínio do Teorema do Confronto: sabemos que \displaystyle \lim_{x\to 0} |x| = 0. Como -|x| \le x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) \le |x| e as duas funções -|x| e |x| têm limite 0 em 0, a função do meio tem que ter limite 0 também. Portanto
\lim_{x\to 0} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=0.
Comentário didático curto: a oscilação do \sin(1/x) é “amortecida” pelo fator x que vai para zero, fazendo o produto tender a zero.

Passo 4

Analisando \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) e \displaystyle \lim_{x\to -\infty} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) pela composição de limites e continuidade.
Observação: a função g(x)=\dfrac{1}{x} satisfaz \lim_{x\to\pm\infty} g(x)=0. A função \sin(t) é contínua em t=0, logo a composição \sin(g(x)) tem limite igual a \sin do limite de g(x). Formalmente,
\lim_{x\to \pm\infty} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) = \sin\!\left(\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x}\right) = \sin(0) = 0.
Portanto em ambos os sentidos infinito o valor tende a 0.

Passo 5

Analisando \displaystyle \lim_{x\to +\infty} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) e \displaystyle \lim_{x\to -\infty} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) usando a substituição u=\dfrac{1}{x}.
Fazer a substituição: seja u=\dfrac{1}{x}. Quando x\to +\infty então u\to 0^+. Quando x\to -\infty então u\to 0^-. Reescrevendo a expressão,
x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\sin u}{u}.
Portanto os limites procurados são
\lim_{x\to \pm\infty} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) = \lim_{u\to 0} \frac{\sin u}{u}.
Agora é necessário recordar (e justificar) que
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Justificação clássica (resumida): para u pequeno e positivo vale a desigualdade geométrica
\cos u \le \frac{\sin u}{u} \le 1,
para 0<u<\tfrac{\pi}{2}. Como \lim_{u\to 0}\cos u=1, pelo Teorema do Confronto segue \lim_{u\to 0^+}\dfrac{\sin u}{u}=1. Para u\to 0^- a razão \dfrac{\sin u}{u} tem o mesmo limite porque \dfrac{\sin(-u)}{-u}=\dfrac{\sin u}{u}. Assim o limite para u\to 0 (ambos os lados) é 1.
Logo
\lim_{x\to +\infty} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=1, \qquad \lim_{x\to -\infty} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=1.

Resposta

\lim_{x\to 0} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) não existe (oscila entre -1 e 1).
\lim_{x\to 0} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=0.
\lim_{x\to +\infty} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=0.
\lim_{x\to -\infty} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=0.
\lim_{x\to +\infty} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=1.
\lim_{x\to -\infty} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=1.

Exercícios relacionados