- Analise o comportamento das funções sen
e
quando
e quando
Passo 1
O enunciado pede que eu analise o comportamento, isto é, os limites, das funções
e
nos seguintes casos:
- quando
; - quando
e quando .
Informações relevantes dadas no enunciado:
- as funções são explicitamente
e ; - não há outras condições (por exemplo, continuidade extra) além da forma das funções.
Passo 2
Analisando
.
Explicação conceitual: a função
é limitada entre
e
para todo
. Aqui o argumento é
. Quando
, o argumento
explode, isto é, varia muito rápido e atravessa valores que fazem
oscilar entre
e
. Para que exista limite em
precisamos que todos os caminhos (todas as sequências
) produzam o mesmo valor-limite; se eu encontrar duas sequências que dão limites diferentes, concluo que o limite não existe.
Construção de sequências que mostram que a função oscila:
- considere
. Então quando e
- considere
. Então e
- considere
. Então e
Como é possível obter subsequências que convergem a
, a
e a
, não existe um único valor-limite quando
. Logo o limite não existe e dizemos que a função
oscila entre
e
ao se aproximar de
.
Passo 3
Analisando
usando o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).
Primeiro uma desigualdade elementar: para todo
vale
. Multiplicando por
obtemos
Agora faço o raciocínio do Teorema do Confronto: sabemos que
. Como
e as duas funções
e
têm limite
em
, a função do meio tem que ter limite
também. Portanto
Comentário didático curto: a oscilação do
é “amortecida” pelo fator
que vai para zero, fazendo o produto tender a zero.
Passo 4
Analisando
e
pela composição de limites e continuidade.
Observação: a função
satisfaz
. A função
é contínua em
, logo a composição
tem limite igual a
do limite de
. Formalmente,
Portanto em ambos os sentidos infinito o valor tende a
.
Passo 5
Analisando
e
usando a substituição
.
Fazer a substituição: seja
. Quando
então
. Quando
então
. Reescrevendo a expressão,
Portanto os limites procurados são
Agora é necessário recordar (e justificar) que
Justificação clássica (resumida): para
pequeno e positivo vale a desigualdade geométrica
para
. Como
, pelo Teorema do Confronto segue
. Para
a razão
tem o mesmo limite porque
. Assim o limite para
(ambos os lados) é
.
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