Seja
uma função contínua no intervalo
e derivável no ponto
tal que
, a variação de
no intervalo
pode ser maior que 0.4 ? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é contínua no intervalo . -
é diferenciável no ponto e .
A pergunta que precisamos responder é: “a variação de
no intervalo
pode ser maior que
?” (ou seja, pode ocorrer que
?). Vou interpretar "variação de
no intervalo
" como o incremento
.
Passo 2
Vamos recordar o que significa
de forma prática e o que isso nos garante localmente.
- Definição de derivada no ponto:
é diferenciável em com significa
Isto nos diz que, para valores de
muito pequenos, o incremento
é bem aproximado por
. Em linguagem de aproximação,
onde
é um termo que, dividido por
, tende a
quando
.
- Importante: essa informação é sobre o comportamento quando
tende a . Ela não fornece uma cota uniforme para incrementos com fixo e não pequeno (por exemplo ). Ou seja, saber não impede que, a uma distância fixa de , a função tenha um comportamento “fora do linear” — desde que esse comportamento desapareça quando a distância for levada a .
Passo 3
Estratégia para responder à pergunta: mostrar que é possível construir uma
que satisfaça as hipóteses e, ao mesmo tempo, tenha
. Ou seja, apresentar um contraexemplo explícito que atende às hipóteses e dá variação maior que
.
Constrói-se
como soma de uma parte linear com inclinação
mais uma pequena “função de oscilação” que seja nula numa vizinhança de
(garantindo a derivada no ponto) mas que assuma valores grandes em
e
.
Defina
, onde
é contínua em
e satisfaz:
-
para (ou seja, é constante zero numa vizinhança de ), -
e para algum , -
é contínua no restante do intervalo (por exemplo, peça‑por‑peça linear entre os pontos indicados).
Uma construção explícita por trechos (suficiente para a argumentação; não é necessário suavizar tudo para ter derivada em outros pontos, porque o enunciado exige apenas continuidade em
e diferenciabilidade em
):
- Para
defina
- Para
defina - Para
defina
- Em outros pontos de
pode estender-se de maneira contínua (por exemplo zero fora de ).
Observações sobre essa
:
-
é contínua em . - Em uma vizinhança de
(por exemplo ) é constante igual a . Logo é diferenciável em com .
Então, como requerido.
Passo 4
Calcule a variação
para a função construída.
Usando
obtemos
Substituindo
e
,
Como
, temos
Escolhendo qualquer
(por exemplo
) obtemos
. Portanto é possível que a variação seja maior que
.
Passo 5
Breve comentário didático sobre por que o contraexemplo não viola teoremas padrão:
- O Teorema do Valor Médio (TVM) diz: se
for contínua em e diferenciável em , então existe com
Mas no enunciado só se exige diferenciabilidade em
, não em todo o intervalo
. No contraexemplo acima
não foi construída para ser diferenciável em todos os pontos do intervalo; apenas em
. Por isso o TVM não é aplicável globalmente e não impede incrementos grandes.
- Se além de
soubéssemos que é contínua num intervalo contendo , então estaria perto de em todo esse intervalo e, por consequência, o incremento seria próximo de — e poderia ser limitado por algo como . Mas essa hipótese extra (continuidade de em torno de ) não foi dada.
Resposta
Sim: pode ser maior que
. (Exemplo:
com
construída acima dá
para qualquer
.)