Seja g(x) uma função contínua no intervalo (0,2) e derivável no ponto x=1 tal que g^{\prime}(1)=2, a variação de g no intervalo [0.9,1.1] pode ser maior que 0.4 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • g é contínua no intervalo (0,2).
  • g é diferenciável no ponto x=1 e g'(1)=2.
A pergunta que precisamos responder é: “a variação de g no intervalo [0,9,1.1] pode ser maior que 0,4?” (ou seja, pode ocorrer que g(1,1)-g(0,9)>0,4?). Vou interpretar "variação de g no intervalo [0,9,1.1]" como o incremento \,g(1,1)-g(0,9)\,.

Passo 2

Vamos recordar o que significa g'(1)=2 de forma prática e o que isso nos garante localmente.
  • Definição de derivada no ponto: g é diferenciável em x=1 com g'(1)=2 significa
\lim_{h\to0}\frac{g(1+h)-g(1)}{h}=2.
Isto nos diz que, para valores de h muito pequenos, o incremento g(1+h)-g(1) é bem aproximado por 2h. Em linguagem de aproximação,
g(1+h)=g(1)+2h + o(h)\quad\text{quando }h\to0,
onde o(h) é um termo que, dividido por h, tende a 0 quando h\to0.
  • Importante: essa informação é sobre o comportamento quando h tende a 0. Ela não fornece uma cota uniforme para incrementos com h fixo e não pequeno (por exemplo h=0,1). Ou seja, saber g'(1)=2 não impede que, a uma distância fixa 0,1 de 1, a função tenha um comportamento “fora do linear” — desde que esse comportamento desapareça quando a distância for levada a 0.

Passo 3

Estratégia para responder à pergunta: mostrar que é possível construir uma g que satisfaça as hipóteses e, ao mesmo tempo, tenha \,g(1,1)-g(0,9)>0,4. Ou seja, apresentar um contraexemplo explícito que atende às hipóteses e dá variação maior que 0,4.
Constrói-se g como soma de uma parte linear com inclinação 2 mais uma pequena “função de oscilação” que seja nula numa vizinhança de 1 (garantindo a derivada no ponto) mas que assuma valores grandes em 0,9 e 1,1.
Defina g(x)=2x+\varphi(x), onde \varphi é contínua em (0,2) e satisfaz:
  • \varphi(x)=0 para x\in[0,98,1,02] (ou seja, \varphi é constante zero numa vizinhança de 1),
  • \varphi(0,9)=-A e \varphi(1,1)=A para algum A>0,
  • \varphi é contínua no restante do intervalo (por exemplo, peça‑por‑peça linear entre os pontos indicados).
Uma construção explícita por trechos (suficiente para a argumentação; não é necessário suavizar tudo para ter derivada em outros pontos, porque o enunciado exige apenas continuidade em (0,2) e diferenciabilidade em 1):
  • Para x\in[0,9,0,98] defina
\varphi(x)=-A + \frac{A}{0,08}\,(x-0,9).
  • Para x\in[0,98,1,02] defina \varphi(x)=0.
  • Para x\in[1,02,1,1] defina
\varphi(x)=\frac{A}{0,08}\,(x-1,02).
  • Em outros pontos de (0,2) pode estender-se \varphi de maneira contínua (por exemplo zero fora de [0,9,1,1]).
Observações sobre essa \varphi:
  • \varphi é contínua em (0,2).
  • Em uma vizinhança de 1 (por exemplo [0,98,1,02]) \varphi é constante igual a 0. Logo \varphi é diferenciável em 1 com \varphi'(1)=0.
    Então g'(1)=2+\varphi'(1)=2, como requerido.

Passo 4

Calcule a variação \,g(1,1)-g(0,9)\, para a função construída.
Usando g(x)=2x+\varphi(x) obtemos
g(1,1)-g(0,9)=\bigl(2\cdot1,1+\varphi(1,1)\bigr)-\bigl(2\cdot0,9+\varphi(0,9)\bigr).
Substituindo \varphi(1,1)=A e \varphi(0,9)=-A,
g(1,1)-g(0,9)=2(1,1-0,9)+A-(-A)=2\cdot0,2 + 2A.
Como 2\cdot0,2=0,4, temos
g(1,1)-g(0,9)=0,4 + 2A.
Escolhendo qualquer A>0 (por exemplo A=1) obtemos g(1,1)-g(0,9)>0,4. Portanto é possível que a variação seja maior que 0,4.

Passo 5

Breve comentário didático sobre por que o contraexemplo não viola teoremas padrão:
  • O Teorema do Valor Médio (TVM) diz: se g for contínua em [0,9,1,1] e diferenciável em (0,9,1,1), então existe c\in(0,9,1,1) com
g(1,1)-g(0,9)=g'\text{(c)}\cdot(1,1-0,9)=g'\text{(c)}\cdot0,2.
Mas no enunciado só se exige diferenciabilidade em x=1, não em todo o intervalo (0,9,1,1). No contraexemplo acima g não foi construída para ser diferenciável em todos os pontos do intervalo; apenas em 1. Por isso o TVM não é aplicável globalmente e não impede incrementos grandes.
  • Se além de g'(1)=2 soubéssemos que g' é contínua num intervalo contendo [0,9,1,1], então g' estaria perto de 2 em todo esse intervalo e, por consequência, o incremento seria próximo de 2\cdot0,2=0,4 — e poderia ser limitado por algo como (2+\varepsilon)\cdot0,2. Mas essa hipótese extra (continuidade de g' em torno de 1) não foi dada.

Resposta

Sim: pode ser maior que 0,4. (Exemplo: g(x)=2x+\varphi(x) com \varphi construída acima dá g(1,1)-g(0,9)=0,4+2A>0,4 para qualquer A>0.)

Exercícios relacionados