Seja f(x) uma função derivável no intervalo (9,11), tal que f^{\prime}(10)=10. A variação de f no intervalo [9.98, 10.03] pode ser maior que 20? Justifique.
Passo 1
Dados e pedido:
A função f é diferenciável em (9,11).
Sabe-se que f'(10)=10.
O intervalo que interessa é [9,98,10,03] — note que 10,03-9,98=0,05.
Pergunta: a variação de f no intervalo [9,98,10,03] pode ser maior que 20? Pedem justificativa.
Passo 2
Aplicar o Teorema do Valor Médio (TVM). O TVM diz que, se f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe c\in(a,b) tal que
f(b)-f(a)=f'\text{(c)}\,(b-a).
Aqui podemos aplicar com a=9,98 e b=10,03. Assim existe c\in(9,98,10,03) tal que
f(10,03)-f(9,98)=f'\text{(c)}\,(10,03-9,98).
Como 10,03-9,98=0,05, obtemos
f(10,03)-f(9,98)=f'\text{(c)}\cdot 0,05.
Portanto, a variação \Delta f:=f(10,03)-f(9,98) será maior que 20 se, e somente se,
Interpretação: para que a variação supere [20) precisa existir algum ponto c\in(9,98,10,03) com f'\text{(c)}>400. A informação f'(10)=10 diz somente o valor da derivada em x=10; ela NÃO impede que f' atinja valores muito maiores em outros pontos próximos. Diferenciabilidade em um ponto não implica continuidade da derivada nem limites de quão grande a derivada pode ser em pontos vizinhos.
Um exemplo clássico que ilustra isso (sem relação direta com os números do enunciado) é
que tem g'(0)=0\] mas \(g' é não limitada em qualquer vizinhança de 0. Ou seja: ter derivada bem-comportada num ponto não impede picos arbitrariamente altos da derivada perto dali.]
Passo 4
Construção explícita que mostra que é possível: defina uma função h com suporte compacto dentro de (10,01,10,03) e que seja suave nas extremidades, por exemplo
e p(x)=0 fora desse intervalo. Note que p e p' valem 0 em x=10 (pois 10<10,01, então p é identicamente zero em uma vizinhança à esquerda de 10), logo p'(10)=0. Agora tome
f(x)=10x + A\,p(x),
com A>0 a ser escolhido grande. Então f é diferenciável em (9,11) e
f'(x)=10 + A\,p'(x).
Em particular f'(10)=10 + A\,p'(10)=10 porque p'(10)=0, como exigido.
Para ver que podemos forçar a variação >20, calculemos p'(x) para x\in(10,01,10,03). Uma diferenciação direta dá (para o polinômio interno)
p'(x)=4(x-10,01)(10,03-x)(10,02-x).
Escolhendo um ponto interior, por exemplo x=10,015, temos
Como encontramos um ponto com f'\text{(c)}\ge 460, segue
f(10,03)-f(9,98)\ge 460\cdot 0,05=23>20.
Portanto, com esta construção explícita (que preserva f'(10)=10), a variação no intervalo pode ser maior que 20.
Passo 5
Conclusão explicada de forma direta: o fato de f'(10)=10 não impede que f' atinja valores muito maiores em pontos próximos; pelo Teorema do Valor Médio a variação é f'\text{(c)}\cdot 0,05 para algum c do intervalo, e como é possível ter f'\text{(c)}>400 (construção acima), a variação pode ser maior que 20.