- Calcule as segundas derivadas de sen
e de
, ou seja, mostre que:
conclua que
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
- Calcular a segunda derivada de
. - Calcular a segunda derivada de
. - A partir disso, concluir uma relação geral sobre as derivadas de ordem
de .
Informações relevantes dadas:
- As funções envolvidas são
e . - Não foi dada nenhuma outra condição; trabalha-se com derivadas usuais no domínio de todas as
.
Observação importante (apenas identificação do pedido): mais adiante vou mostrar as derivadas usando a definição de derivada e limites básicos. Não vou assumir resultados sem justificar os limites que eu usar.
Passo 2
Lembrete útil: a definição de derivada de uma função
é
Para usar essa definição com
e
preciso de dois limites trigonométricos clássicos:
Vou justificar (rápido e básico) esses dois limites porque são a base das derivadas que vem a seguir.
Prova sucinta de
:
- Para
vale a desigualdade geométrica . (Essa desigualdade vem da comparação entre arco, seno e tangente numa circunferência unitária; o importante é que .) - Como
, pelo Teorema do Aperto (squeeze) segue que . - O caso
segue por paridade/continuidade do seno, portanto o limite bilateral é .
Prova sucinta de
:
- Use a identidade
. - Então
- Como
, o fator tende a , e o fator final tende a ; portanto o produto tende a . - Assim
.
Esses limites são suficientes para calcular as derivadas usando a definição.
Passo 3
Derivada de
(passo a passo com a definição):
Use a fórmula do seno da soma:
. Substituindo:
Agora faça o limite
. Pelos limites do Passo 2:
Logo
Passo 4
Derivada de
(usando a definição ou a relação com seno):
Usando a definição e a identidade ,
Usando a definição e a identidade
Pelos limites do Passo 2 isso vale
Portanto
(Alternativamente: como
, derivando ambos os lados com a regra da derivada de produto/constante obtém-se a mesma conclusão.)
Passo 5
Agora as segundas derivadas — é só derivar as primeiras derivadas que acabamos de obter.
Para
:
Pelo Passo 4
. Logo
Para
:
Pelo Passo 3
. Logo
Importante: as igualdades corretas são essas acima. (O enunciado que você enviou trazia igualdades diferentes; aqui estão as versões corretas e demonstradas.)
Passo 6
Padrão e generalização para derivadas de ordem
.
Observação: da Parte anterior temos
Isto mostra que aplicar a derivada duas vezes age como multiplicar por
sobre os espaços gerados por
e
. Dessa consequência obtemos a relação de recorrência
Essa relação implica periodicidade das derivadas de
com período
. Listando os primeiros casos:
e assim por diante, repetindo a cada
derivadas.
Uma fórmula compacta (muito útil na prova) é
Essa fórmula dá diretamente os valores acima: para
dá
, para
dá
, etc. Pode-se provar essa fórmula por indução usando que a derivada de
em
é
e a relação
.
Passo 7
Comentário final sobre a relação que o enunciado pediu concluir:
- A relação que aparece no enunciado que você mandou,
não é correta (verifique substituindo
ou
). A relação verdadeira e útil é a recorrência de segunda ordem
e a fórmula explícita com deslocamento de argumento
Use essa última quando precisar de uma expressão fechada das derivadas de ordem arbitrária na prova — é fácil de aplicar sem calculadora.
Força aí — essa é uma daquelas coisas que vira rotina rápido: decorar o ciclo
e a fórmula com deslocamento resolve quase tudo.