1. Calcule as segundas derivadas de sen (x) e de \cos (x), ou seja, mostre que:
\begin{aligned} \frac{d^{2}}{d x^{2}} \operatorname{sen}(x) & =-\cos (x) \\\ \frac{d^{2}}{d x^{2}} \cos (x) & =-\operatorname{sen}(x) \end{aligned}
conclua que
\frac{d^{k} \sin (x)}{d x}=(-1)^{k} \frac{d^{k-1} \sin (x)}{d x}

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • Calcular a segunda derivada de \operatorname{sen}(x).
  • Calcular a segunda derivada de \cos(x).
  • A partir disso, concluir uma relação geral sobre as derivadas de ordem k de \operatorname{sen}(x).
Informações relevantes dadas:
  • As funções envolvidas são \operatorname{sen}(x) e \cos(x).
  • Não foi dada nenhuma outra condição; trabalha-se com derivadas usuais no domínio de todas as x\in\mathbb{R}.
Observação importante (apenas identificação do pedido): mais adiante vou mostrar as derivadas usando a definição de derivada e limites básicos. Não vou assumir resultados sem justificar os limites que eu usar.

Passo 2

Lembrete útil: a definição de derivada de uma função f é
\frac{df}{dx}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Para usar essa definição com \operatorname{sen} e \cos preciso de dois limites trigonométricos clássicos:
\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}(h)}{h}=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}=0.
Vou justificar (rápido e básico) esses dois limites porque são a base das derivadas que vem a seguir.
Prova sucinta de \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}(h)}{h}=1:
  • Para 0<h<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica \cos(h)<\dfrac{\operatorname{sen}(h)}{h}<1. (Essa desigualdade vem da comparação entre arco, seno e tangente numa circunferência unitária; o importante é que \cos(h)\le \dfrac{\operatorname{sen}(h)}{h}\le 1.)
  • Como \lim_{h\to 0}\cos(h)=1, pelo Teorema do Aperto (squeeze) segue que \lim_{h\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(h)}{h}=1.
  • O caso h\to 0^- segue por paridade/continuidade do seno, portanto o limite bilateral é 1.
Prova sucinta de \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}=0:
  • Use a identidade \cos(h)-1=-2\sin^2\!\big(\tfrac{h}{2}\big).
  • Então
\frac{\cos(h)-1}{h}=-2\frac{\sin^2\!\big(\tfrac{h}{2}\big)}{h} =-2\left(\frac{\sin\!\big(\tfrac{h}{2}\big)}{\tfrac{h}{2}}\right)^{\!2}\cdot\frac{h}{4}.
  • Como \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h/2)}{h/2}=1, o fator \left(\frac{\sin(h/2)}{h/2}\right)^2 tende a 1, e o fator final \dfrac{h}{4} tende a 0; portanto o produto tende a 0.
  • Assim \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}=0.
Esses limites são suficientes para calcular as derivadas usando a definição.

Passo 3

Derivada de \operatorname{sen}(x) (passo a passo com a definição):
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}(x)}{h}.
Use a fórmula do seno da soma: \operatorname{sen}(x+h)=\operatorname{sen} x\cos h+\cos x\operatorname{sen} h. Substituindo:
\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}(x)}{h} =\frac{\operatorname{sen} x(\cos h-1)+\cos x\operatorname{sen} h}{h} =\operatorname{sen} x\cdot\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\frac{\operatorname{sen} h}{h}.
Agora faça o limite h\to 0. Pelos limites do Passo 2:
\lim_{h\to 0}\operatorname{sen} x\cdot\frac{\cos h-1}{h}= \operatorname{sen} x\cdot 0 = 0, \qquad \lim_{h\to 0}\cos x\cdot\frac{\operatorname{sen} h}{h}= \cos x\cdot 1=\cos x.
Logo
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x).

Passo 4

Derivada de \cos(x) (usando a definição ou a relação com seno):
Usando a definição e a identidade \cos(x+h)=\cos x\cos h-\operatorname{sen} x\sin h,
\frac{d}{dx}\cos(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h} =\lim_{h\to 0}\left[\cos x\cdot\frac{\cos h-1}{h}-\operatorname{sen} x\cdot\frac{\operatorname{sen} h}{h}\right].
Pelos limites do Passo 2 isso vale
\cos x\cdot 0 - \operatorname{sen} x\cdot 1 = -\operatorname{sen} x.
Portanto
\frac{d}{dx}\cos(x)=-\operatorname{sen}(x).
(Alternativamente: como \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x), derivando ambos os lados com a regra da derivada de produto/constante obtém-se a mesma conclusão.)

Passo 5

Agora as segundas derivadas — é só derivar as primeiras derivadas que acabamos de obter.
Para \operatorname{sen}(x):
\frac{d^2}{dx^2}\operatorname{sen}(x)=\frac{d}{dx}\Big(\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)\Big) =\frac{d}{dx}\cos(x).
Pelo Passo 4 \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\operatorname{sen}(x). Logo
\frac{d^2}{dx^2}\operatorname{sen}(x)=-\operatorname{sen}(x).
Para \cos(x):
\frac{d^2}{dx^2}\cos(x)=\frac{d}{dx}\Big(\frac{d}{dx}\cos(x)\Big) =\frac{d}{dx}\big(-\operatorname{sen}(x)\big)=-\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x).
Pelo Passo 3 \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x). Logo
\frac{d^2}{dx^2}\cos(x)=-\cos(x).
Importante: as igualdades corretas são essas acima. (O enunciado que você enviou trazia igualdades diferentes; aqui estão as versões corretas e demonstradas.)

Passo 6

Padrão e generalização para derivadas de ordem k.
Observação: da Parte anterior temos
\frac{d^2}{dx^2}\operatorname{sen}(x)=-\operatorname{sen}(x), \qquad \frac{d^2}{dx^2}\cos(x)=-\cos(x).
Isto mostra que aplicar a derivada duas vezes age como multiplicar por -1 sobre os espaços gerados por \operatorname{sen} e \cos. Dessa consequência obtemos a relação de recorrência
\frac{d^{k+2}}{dx^{k+2}}\operatorname{sen}(x)=-\frac{d^{k}}{dx^{k}}\operatorname{sen}(x)\qquad\text{para todo }k\ge 0.
Essa relação implica periodicidade das derivadas de \operatorname{sen}(x) com período 4. Listando os primeiros casos:
\begin{aligned} \frac{d^{0}}{dx^{0}}\operatorname{sen}(x)&=\operatorname{sen}(x),\\\ \frac{d^{1}}{dx}\operatorname{sen}(x)&=\cos(x),\\\ \frac{d^{2}}{dx^{2}}\operatorname{sen}(x)&=-\operatorname{sen}(x),\\\ \frac{d^{3}}{dx^{3}}\operatorname{sen}(x)&=-\cos(x),\\\ \frac{d^{4}}{dx^{4}}\operatorname{sen}(x)&=\operatorname{sen}(x), \end{aligned}
e assim por diante, repetindo a cada 4 derivadas.
Uma fórmula compacta (muito útil na prova) é
\boxed{\displaystyle \frac{d^{k}}{dx^{k}}\operatorname{sen}(x)=\operatorname{sen}\!\left(x+\frac{k\pi}{2}\right),\quad k\in\mathbb{N}_0.}
Essa fórmula dá diretamente os valores acima: para k=1 \operatorname{sen}(x+\tfrac{\pi}{2})=\cos(x), para k=2 \operatorname{sen}(x+\pi)=-\operatorname{sen}(x), etc. Pode-se provar essa fórmula por indução usando que a derivada de \operatorname{sen}(x+\theta) em x é \cos(x+\theta) e a relação \cos(x+\theta)=\operatorname{sen}\big(x+\theta+\tfrac{\pi}{2}\big).

Passo 7

Comentário final sobre a relação que o enunciado pediu concluir:
  • A relação que aparece no enunciado que você mandou,
\frac{d^{k}\operatorname{sen}(x)}{dx}=(-1)^{k}\frac{d^{k-1}\operatorname{sen}(x)}{dx},
não é correta (verifique substituindo k=1 ou k=2). A relação verdadeira e útil é a recorrência de segunda ordem
\frac{d^{k+2}}{dx^{k+2}}\operatorname{sen}(x)=-\frac{d^{k}}{dx^{k}}\operatorname{sen}(x),
e a fórmula explícita com deslocamento de argumento
\frac{d^{k}}{dx^{k}}\operatorname{sen}(x)=\operatorname{sen}\!\left(x+\frac{k\pi}{2}\right).
Use essa última quando precisar de uma expressão fechada das derivadas de ordem arbitrária na prova — é fácil de aplicar sem calculadora.
Força aí — essa é uma daquelas coisas que vira rotina rápido: decorar o ciclo \operatorname{sen},\cos,-\operatorname{sen},-\cos e a fórmula com deslocamento resolve quase tudo.

Resposta

\dfrac{d^{2}}{dx^{2}}\operatorname{sen}(x)=-\operatorname{sen}(x)
\dfrac{d^{2}}{dx^{2}}\cos(x)=-\cos(x)
\dfrac{d^{k}}{dx^{k}}\operatorname{sen}(x)=\operatorname{sen}\!\left(x+\dfrac{k\pi}{2}\right)

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