(a) Analise o comportamento do método de Newton quando
está próximo de um ponto onde
.
(b) Investigue o método de Newton para raízes múltiplas.
(c) Descreva uma modificação do método de Newton para evitar divisão por zero.
(b) Investigue o método de Newton para raízes múltiplas.
(c) Descreva uma modificação do método de Newton para evitar divisão por zero.
Passo 1
O enunciado pede três coisas separadas:
(a) analisar o comportamento do método de Newton quando está próximo de um ponto onde
;
(b) investigar o método de Newton no caso de raízes múltiplas;
(c) descrever uma modificação do método de Newton para evitar division by zero.
(a) analisar o comportamento do método de Newton quando
(b) investigar o método de Newton no caso de raízes múltiplas;
(c) descrever uma modificação do método de Newton para evitar division by zero.
Informações dadas (ou implicadas) que usaremos:
- A fórmula básica do método de Newton é
- Vamos supor que
é suficientemente suave (deriváveis até a ordem necessária) nas vizinhanças que analisamos. - Para (b) usaremos a definição de multiplicidade: uma raiz
tem multiplicidade se
Passo 2
Entendendo por que derivada pequena causa problemas (intuição + cálculo local).
Primeiro uma intuição simples: na fórmula de Newton a atualização divide por . Se
é pequeno, o quociente
pode ser muito grande e o passo
pula muito; isso pode levar a iterações que saltam para regiões onde
é grande, ou até a divergência.
Primeiro uma intuição simples: na fórmula de Newton a atualização divide por
Agora um cálculo local mais formal. Seja
um ponto tal que
(não estamos supondo que
seja raiz). Expandindo
por Taylor em torno de
até segunda ordem:
Para
próximo de
(ou seja
pequeno) temos, substituindo na fórmula de Newton,
Simplificando:
Reorganizando os termos dominantes:
Observe o termo
: ele é proporcional a
. Se
fica muito próximo de
(denominador pequeno), esse termo domina e pode mandar
para um valor muito distante. Conclusão: quando
está perto de um ponto onde
se anula mas
não é zero, a iteração pode produzir passos enormes e comportar-se de forma instável (saltos grandes, possível divergência).
Passo 3
Exemplo numérico simples para fixar a intuição.
Considere . Aqui
e
enquanto
. A iteração de Newton é
Considere
Escolhendo
(perto de zero), calculamos
ou seja o passo é enorme e nos leva para longe. Isso ilustra concretamente o perigo: derivada pequena → passo grande → risco de divergência.
Passo 4
Análise do caso de raiz múltipla (definição, derivação do comportamento e taxa de convergência).
Se é raiz de multiplicidade
, então podemos escrever localmente
Se
onde
. Para a análise é conveniente trabalhar com o erro
. Expandindo:
onde
. Então a iteração de Newton dá
Cancelando
e desenvolvendo:
Portanto, para
a convergência é apenas linear com fator assintótico
(ou seja, convergência lenta), em vez de quadrática. Intuição: perto de uma raiz múltipla
também se anula (ou é muito pequeno), por isso o denominador reduz os ganhos do método.
Exemplo simples:
(
). A iteração é
logo o erro satisfaz
: convergência linear com razão
.
Passo 5
Modificação quando a multiplicidade
é conhecida (recupera convergência quadrática).
Se a raiz tem multiplicidade conhecida , há uma correção simples:
Se a raiz tem multiplicidade conhecida
Com a mesma expansão do passo anterior, substituindo o fator
chegamos a termos de ordem
, isto é, a convergência volta a ser quadrática. Raciocínio curto: multiplicar por
compensa o efeito do expoente
em
e em
, anulando o fator
que causava apenas convergência linear.
Passo 6
E se não conhecemos
? estimativa automática de multiplicidade e outros remédios.
Uma estimativa útil para a multiplicidade local (quando não é exatamente zero) vem da relação entre
,
e
. Para
calcula-se
Uma estimativa útil para a multiplicidade local (quando
onde
. Assim, definindo
temos aproximadamente
, portanto uma estimativa para a multiplicidade é
Usando
no passo modificado
costuma melhorar a taxa quando a raiz é quase múltipla. Atenção: se
for muito pequeno a própria expressão de
fica instável; então essa técnica precisa de regularização (ver abaixo).
Outra alternativa que evita dividir apenas por
é usar um método que combina
, por exemplo a iteração de Halley (uma generalização cúbica de Newton):
Para o caso exato
essa fórmula dá convergência muito melhor e, no caso idealizado de monômio puro, leva
exatamente a
em um passo. Portanto usar Halley é uma forma prática de contornar o problema de multiplicidade (mas exige
).
Passo 7
Estratégias práticas para evitar divisão por zero e tornar o método robusto (receita de uso na prova).
- Safeguard simples: se
for menor que uma tolerância , não faça o passo de Newton padrão. Em vez disso: - usar um passo de secante (não precisa de derivada):
(precisa de ); ou - usar bisseção/regula falsi se você tem um intervalo que contém a raiz (método robusto e garantido); ou
- usar Halley (se
disponível): faz divisão por em vez de só por e tende a ser mais estável perto de raízes múltiplas.
- usar um passo de secante (não precisa de derivada):
- Damped (ou line-search) Newton: substituir o passo por
com escolhido por uma busca que garanta redução de (evita saltos grandes quando é pequeno). - Regularização numérica: substituir divisor por
com pequeno (método bruto — tende a introduzir viés, mas evita divisão por zero). - Estima multiplicidade com
e usar aproximado no passo modificado . Se a estimativa for instável, combinar com os itens 1–2. - Sempre programar um critério de parada e um número máximo de iterações; se o método fizer passos enormes, interromper e tentar um método alternativo (bisseção/secante) ou mudar o
.
Resposta
(a) Se
está próximo de um ponto onde
(mas
não é zero aí), a iteração de Newton pode produzir passos muito grandes porque
fica grande; isso provoca saltos, instabilidade e possível divergência. Em torno de tal ponto a expansão de Taylor mostra um termo dominante proporcional a
, responsável pelo comportamento errático.\n
(b) Para uma raiz de multiplicidade o método de Newton convencional converge apenas linearmente com razão assintótica
(perde a convergência quadrática). Escrevendo
obtém-se
. Se
for conhecida, a correção
restaura a convergência quadrática.\n
(c) Modificações práticas para evitar divisão por zero: (i) usar passo modificado se a multiplicidade
for conhecida; (ii) estimar
por
e aplicar o passo com
(com regularização); (iii) usar Halley
(b) Para uma raiz de multiplicidade
(c) Modificações práticas para evitar divisão por zero: (i) usar passo modificado
(mais robusto perto de raízes múltiplas, exige
); (iv) se
for muito pequeno, trocar provisoriamente para secant, bisseção ou usar damped-Newton (linha de busca) em vez do passo puro para evitar divisão por zero e passos gigantes.