Calcular a área delimitada pela hipocielóide
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede a área delimitada por essa curva (a área interior da curva fechada). As informações relevantes são: as expressões de
e
para todo
e que a curva é fechada (é a famosa astroide/hipocicloide com parâmetro
). Não há mais dados; precisamos determinar a área encerrada por essa curva.
Passo 2
Vou usar a fórmula de área para curvas paramétricas fechadas. A fórmula diz que, se
é uma parametrização suave de uma curva fechada percorrida uma vez quando
varia de
a
, então a área orientada vale
Explicando essa fórmula de forma clara:
é a derivada de
em relação a
(ou seja,
) e
é a derivada de
(ou seja,
). A integral calcula a “área orientada” — se a parametrização for no sentido horário, o resultado sai negativo; no sentido anti-horário, sai positivo. No final tomamos o valor absoluto se queremos a área geométrica positiva. Aqui vamos integrar em um intervalo que percorre a curva inteira uma vez e depois tomar o valor absoluto, se necessário.
Passo 3
Escolhemos o intervalo
, que percorre a curva inteira uma vez. Agora calculamos as derivadas:
Aqui usei a regra da cadeia: se
então
.
Passo 4
Formamos o integrando
:
Agora simplificamos termo a termo:
Assim
Factorando
obtemos
Como
, isso simplifica para
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da área:
Isto é
Como escrevemos antes, o resultado pode sair negativo por causa da orientação; a área geométrica é o valor absoluto. Mas primeiro vamos calcular a integral.
Passo 6
Para integrar
usamos identidades trigonométricas. Observação útil:
e
Combinando,
Então
Como
vale zero em
e
, ficamos com
Passo 7
Voltando para a área:
O sinal negativo indica que a parametrização percorre a curva no sentido horário; a área geométrica procurada é o valor absoluto:
(Como checagem rápida: a fórmula conhecida para a astroide
dá área
. Aqui
e isso fornece
, confirmando o resultado.)