Calcular a área delimitada pela hipocielóide \left\{\begin{array}{l}x=4 \operatorname{sen}^{3} t \\\ y=4 \cos ^{3} t\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x=4\sin^{3}t,\qquad y=4\cos^{3}t
e pede a área delimitada por essa curva (a área interior da curva fechada). As informações relevantes são: as expressões de x(t) e y(t) para todo t e que a curva é fechada (é a famosa astroide/hipocicloide com parâmetro 4). Não há mais dados; precisamos determinar a área encerrada por essa curva.

Passo 2

Vou usar a fórmula de área para curvas paramétricas fechadas. A fórmula diz que, se (x(t),y(t)) é uma parametrização suave de uma curva fechada percorrida uma vez quando t varia de t_0 a t_1, então a área orientada vale
A=\frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_1}\bigl(x(t)\,y'(t)-y(t)\,x'(t)\bigr)\,dt.
Explicando essa fórmula de forma clara: x'(t) é a derivada de x em relação a t (ou seja, dx/dt) e y'(t) é a derivada de y (ou seja, dy/dt). A integral calcula a “área orientada” — se a parametrização for no sentido horário, o resultado sai negativo; no sentido anti-horário, sai positivo. No final tomamos o valor absoluto se queremos a área geométrica positiva. Aqui vamos integrar em um intervalo que percorre a curva inteira uma vez e depois tomar o valor absoluto, se necessário.

Passo 3

Escolhemos o intervalo t\in[0,2\pi], que percorre a curva inteira uma vez. Agora calculamos as derivadas:
x(t)=4\sin^{3}t\quad\Rightarrow\quad x'(t)=4\cdot 3\sin^{2}t\cos t=12\sin^{2}t\cos t,
y(t)=4\cos^{3}t\quad\Rightarrow\quad y'(t)=4\cdot 3\cos^{2}t(-\sin t)=-12\cos^{2}t\sin t.
Aqui usei a regra da cadeia: se u(t)=\sin t então (u^3)'=3u^2 u'.

Passo 4

Formamos o integrando x\,y'-y\,x':
x\,y'-y\,x'= 4\sin^{3}t\cdot(-12\cos^{2}t\sin t)-4\cos^{3}t\cdot(12\sin^{2}t\cos t).
Agora simplificamos termo a termo:
4\sin^{3}t\cdot(-12\cos^{2}t\sin t)=-48\sin^{4}t\cos^{2}t,
4\cos^{3}t\cdot(12\sin^{2}t\cos t)=48\cos^{4}t\sin^{2}t.
Assim
x\,y'-y\,x'=-48\sin^{4}t\cos^{2}t-48\cos^{4}t\sin^{2}t.
Factorando -48\sin^{2}t\cos^{2}t obtemos
x\,y'-y\,x'=-48\sin^{2}t\cos^{2}t\bigl(\sin^{2}t+\cos^{2}t\bigr).
Como \sin^{2}t+\cos^{2}t=1, isso simplifica para
x\,y'-y\,x'=-48\sin^{2}t\cos^{2}t.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da área:
A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\bigl(x\,y'-y\,x'\bigr)\,dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\bigl(-48\sin^{2}t\cos^{2}t\bigr)\,dt.
Isto é
A=-24\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\cos^{2}t\,dt.
Como escrevemos antes, o resultado pode sair negativo por causa da orientação; a área geométrica é o valor absoluto. Mas primeiro vamos calcular a integral.

Passo 6

Para integrar \sin^{2}t\cos^{2}t usamos identidades trigonométricas. Observação útil:
\sin^{2}t\cos^{2}t=\frac{1}{4}\sin^{2}(2t)
e
\sin^{2}(2t)=\frac{1-\cos(4t)}{2}.
Combinando,
\sin^{2}t\cos^{2}t=\frac{1}{4}\cdot\frac{1-\cos(4t)}{2}=\frac{1}{8}\bigl(1-\cos(4t)\bigr).
Então
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\cos^{2}t\,dt=\frac{1}{8}\int_{0}^{2\pi}\bigl(1-\cos(4t)\bigr)\,dt =\frac{1}{8}\Bigl[\,t-\frac{\sin(4t)}{4}\,\Bigr]_{0}^{2\pi}.
Como \sin(4t) vale zero em t=0 e t=2\pi, ficamos com
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\cos^{2}t\,dt=\frac{1}{8}\bigl(2\pi-0\bigr)=\frac{\pi}{4}.

Passo 7

Voltando para a área:
A=-24\cdot\frac{\pi}{4}=-6\pi.
O sinal negativo indica que a parametrização percorre a curva no sentido horário; a área geométrica procurada é o valor absoluto:
\text{Área}=\lvert A\rvert=6\pi.Á
(Como checagem rápida: a fórmula conhecida para a astroide x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3} dá área \dfrac{3\pi a^{2}}{8}. Aqui a=4 e isso fornece \dfrac{3\pi\cdot 16}{8}=6\pi, confirmando o resultado.)

Resposta

6\pi

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