Aplique a definição para encontrar as derivadas parciais indicadas:

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial de
f(x,y)=raizx^2+y^2
em relação a x usando a definição de derivada parcial. Vamos aplicar a definição de limite para obter partial fpartial x.

Passo 2

A definição de derivada parcial em relação a x é
partial fpartial x(x,y) =limhto0f(x+h,y)-f(x,y)h

Passo 3

Primeiro, escrevemos o quociente de diferença:
f(x+h,y)-f(x,y)h =raiz(x+h)^2+y^2-raizx^2+y^2h
Para avaliar o limite, racionalizamos o numerador multiplicando por
raiz(x+h)^2+y^2+raizx^2+y^2raiz(x+h)^2+y^2+raizx^2+y^2:
raiz(x+h)^2+y^2-raizx^2+y^2h cdot raiz(x+h)^2+y^2+raizx^2+y^2raiz(x+h)^2+y^2+raizx^2+y^2 =(x+h)^2-x^2hl(raiz(x+h)^2+y^2+raizx^2+y^2r)
Expandindo o numerador:
(x+h)^2-x^2=2xh+h^2,
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f(x+h,y)-f(x,y)h =2xh+h^2hl(raiz(x+h)^2+y^2+raizx^2+y^2r) =2x+hraiz(x+h)^2+y^2+raizx^2+y^2

Passo 4

Agora tomamos o limite quando hto0:
partial fpartial x(x,y) =limhto02x+hraiz(x+h)^2+y^2+raizx^2+y^2 =2x2raizx^2+y^2 =xraizx^2+y^2

Resposta

partial fpartial x(x,y) =xraizx^2+y^2

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