O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis; vamos precisar da definição de limite em R^2 e do limite clássico limuto0sin uu=1.
Passo 2
Para qualquer ponto (x0,y0) com x0y0neq0, a função é composição de (x,y)mapsto xy, umapstosin u e umapsto1/u, todas contínuas no entorno de (x0,y0). Logo f é contínua em todo ponto que satisfaz x yneq0.
Passo 3
Agora, para verificar continuidade em (0,0), calculamos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) =lim(x,y)to(0,0)sin(xy)xy
Defina u=xy. Quando (x,y)to(0,0), temos uto0. Então
lim(x,y)to(0,0)sin(xy)xy =limuto0sin uu =1
Passo 4
Como esse limite vale 1 e f(0,0) também foi definido como 1, concluímos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)
Portanto f é contínua em (0,0).
Resposta
A função é contínua em todos os pontos do seu domínio, incluindo (0,0).