Considere o problema de condução do calor definido pela EDP
para
sujeito à condição inicial
para
com as condições de contorno homogêneas
para
. Ache a solução desse problema se a condição inicial for dada por
onde
são constantes dadas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDP de condução de calor $\alpha^{2}u_{xx}=u_{t}$ em $0<x<l, t>0$, com contorno homogêneo \u(0,t)=u(l,t)=0\ e condição inicial \u(x,0)=f(x)=b_{1}\sin(\pi x/l)+\cdots+b_{n}\sin(n\pi x/l)\. Vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier.
Passo 2
Assumimos solução do tipo \u(x,t)=X(x)T(t)\. Substituindo na EDP e dividindo por \X(x)T(t)\, obtemos \T’(t)/(\alpha^{2}T(t))=X’’(x)/X(x)= -\lambda\, uma constante de separação.
Passo 3
Do problema de autovalores em \X’’(x)+\lambda X(x)=0\ com \X(0)=X(l)=0\ surgem \$
\ para \k=1,2,\dots\.
Passo 4
Para cada \k\ temos a equação temporal \T_{k}’(t)+\alpha^{2}\lambda_{k}T_{k}(t)=0\, cuja solução é \$
\
Passo 5
A solução geral é soma das modos: \u(x,t)=\sum_{k=1}{\infty}A_{k}e{-\alpha{2}(k\pi/l){2}t}\sin\bigl(k\pi x/l\bigr).\
Passo 6
Impondo \u(x,0)=f(x)=\sum_{k=1}^{n}b_{k}\sin(k\pi x/l)\ e comparando termos, obtemos \A_{k}=b_{k}\ para \k=1,\dots,n\ e \A_{k}=0\ para \k>n\.
Resposta
$