Considere o problema de condução do calor definido pela EDP
alpha^2 ux x=ut
para 00 sujeito à condição inicial u(x, 0)=f(x) para 0 <= x <= l e com as condições de contorno homogêneas u(0, t)=0, u(l, t)=0 para t>0. Ache a solução desse problema se a condição inicial for dada por
f(x)=b1 sen(pi xl)+cdots+bn sen(n pi xl),
onde b1, cdots, bn são constantes dadas.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDP de condução de calor $\alpha^{2}u_{xx}=u_{t}$ em $0<x<l, t>0$, com contorno homogêneo \u(0,t)=u(l,t)=0\ e condição inicial \u(x,0)=f(x)=b_{1}\sin(\pi x/l)+\cdots+b_{n}\sin(n\pi x/l)\. Vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier.

Passo 2

Assumimos solução do tipo \u(x,t)=X(x)T(t)\. Substituindo na EDP e dividindo por \X(x)T(t)\, obtemos \T’(t)/(\alpha^{2}T(t))=X’’(x)/X(x)= -\lambda\, uma constante de separação.

Passo 3

Do problema de autovalores em \X’’(x)+\lambda X(x)=0\ com \X(0)=X(l)=0\ surgem \$ lambdak=(kpi/l)^2, Xk(x)=sinl(kpi x/lr),\ para \k=1,2,\dots\.

Passo 4

Para cada \k\ temos a equação temporal \T_{k}’(t)+\alpha^{2}\lambda_{k}T_{k}(t)=0\, cuja solução é \$ Tk(t)=Ak,e^-alpha^2lambdakt=Ak,e^-alpha^2(kpi/l)^2t\

Passo 5

A solução geral é soma das modos: \u(x,t)=\sum_{k=1}{\infty}A_{k}e{-\alpha{2}(k\pi/l){2}t}\sin\bigl(k\pi x/l\bigr).\

Passo 6

Impondo \u(x,0)=f(x)=\sum_{k=1}^{n}b_{k}\sin(k\pi x/l)\ e comparando termos, obtemos \A_{k}=b_{k}\ para \k=1,\dots,n\ e \A_{k}=0\ para \k>n\.

Resposta

$ u(x,t)=sumk=1^nbk,e^-alpha^2(kpi/l)^2tsinl(kpi x/lr)

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