Seja
um espaço vetorial com produto interno e
uma base ortornormal de V . Qualquer vetor
pode ser escrito como a combinação linear
Mostre que nessas condições, os coeficientes (chamados de coeficientes de Fourrier)
são dados por
para
.
Passo 1
Estamos num espaço vetorial V com produto interno e temos uma base ortonormal
. Qualquer vetor
pode ser escrito como
Para achar os coeficientes de Fourier
, vamos usar a ortonormalidade da base, isto é
.
Passo 2
Para extrair o coeficiente
, projetamos
em
calculando
Passo 3
Pela ortonormalidade
, a soma vira
Então o produto interno
coincide com
.
Resposta
Os coeficientes de Fourier são dados por
para
.