Seja V um espaço vetorial com produto interno e v1, cdots, vn uma base ortornormal de V . Qualquer vetor v in V pode ser escrito como a combinação linear
v=a1 v1+cdots an vn
Mostre que nessas condições, os coeficientes (chamados de coeficientes de Fourrier) ai são dados por ai= para i=1,2, cdots, n.

Passo 1

Estamos num espaço vetorial V com produto interno e temos uma base ortonormal v1,dots,vn. Qualquer vetor vin V pode ser escrito como
v = a1v1 + cdots + anvn
Para achar os coeficientes de Fourier ai, vamos usar a ortonormalidade da base, isto é lang<= vi,vjrang<= = de.

Passo 2

Para extrair o coeficiente ak, projetamos v em vk calculando
lang<= v, vkrang<= = lang<= sumi=1^n ai vi,,vkrang<= = sumi=1^n ai,lang<= vi, vkrang<=

Passo 3

Pela ortonormalidade lang<= vi,vkrang<==de, a soma vira
sumi=1^n ai,de
Então o produto interno lang<= v,vkrang<= coincide com ak.

Resposta

Os coeficientes de Fourier são dados por ai = lang<= v, virang<= para i=1,2,dots,n.

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