Dada a curva
Os vetores normais e binormais à curva
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Os vetores normais e binormais à curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva dada por $ f(t) = (t, 2 \cos(t), 2 \sin(t)) $ e precisa encontrar os vetores normal e binormal nessa curva para $ t = \frac{\pi}{3} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, principalmente os Vetores de Frenet-Serret, que nos ajudam a entender a orientação da curva em cada ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente à curva nessa posição. Isso é feito calculando a derivada de $ f(t) $ em relação a $ t $:
Para $ t = \frac{\pi}{3} $:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada segunda de $ f(t) $, que nos ajudará a determinar a direção da mudança do vetor tangente:
Para $ t = \frac{\pi}{3} $:
Passo 4
O vetor normal $ \mathbf{N} $ é encontrado normalizando a derivada do vetor tangente. Primeiro, vamos normalizar $ f’(t) $:
Então, o vetor tangente unitário $ \mathbf{T} $ é:
A derivada de $ \mathbf{T} $ em relação a $ t $ nos dá a direção do vetor normal. Calculando:
Então,
Passo 5
O vetor binormal $ \mathbf{B} $ é perpendicular tanto ao vetor tangente quanto ao vetor normal. Ele é calculado como o produto vetorial entre $ \mathbf{T} $ e $ \mathbf{N} $:
Calculando o produto vetorial:
Após calcular, obtemos:
Resposta
Os vetores normal e binormal à curva $ f(t) = (t, 2 \cos(t), 2 \sin(t)) $ em $ t = \frac{\pi}{3} $ são: