Dada a curva f(t)=(t, 2 cos (t), 2 sen(t))
Os vetores normais e binormais à curva f em t= pi3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva dada por $ f(t) = (t, 2 \cos(t), 2 \sin(t)) $ e precisa encontrar os vetores normal e binormal nessa curva para $ t = \frac{\pi}{3} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, principalmente os Vetores de Frenet-Serret, que nos ajudam a entender a orientação da curva em cada ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente à curva nessa posição. Isso é feito calculando a derivada de $ f(t) $ em relação a $ t $:
f(t)
Para $ t = \frac{\pi}{3} $:
t

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada segunda de $ f(t) $, que nos ajudará a determinar a direção da mudança do vetor tangente:
f(t)
Para $ t = \frac{\pi}{3} $:
f''(t) = (0, -2 cos(t), -2 sin(t))

Passo 4

O vetor normal $ \mathbf{N} $ é encontrado normalizando a derivada do vetor tangente. Primeiro, vamos normalizar $ f’(t) $:
N
Então, o vetor tangente unitário $ \mathbf{T} $ é:
f'(t)
A derivada de $ \mathbf{T} $ em relação a $ t $ nos dá a direção do vetor normal. Calculando:
|f'(pi3)| = raiz1^2 + (-raiz3)^2 + 1^2 = raiz1 + 3 + 1 = raiz5
Então,
T

Passo 5

O vetor binormal $ \mathbf{B} $ é perpendicular tanto ao vetor tangente quanto ao vetor normal. Ele é calculado como o produto vetorial entre $ \mathbf{T} $ e $ \mathbf{N} $:
B
Calculando o produto vetorial:
T
Após calcular, obtemos:
N

Resposta

Os vetores normal e binormal à curva $ f(t) = (t, 2 \cos(t), 2 \sin(t)) $ em $ t = \frac{\pi}{3} $ são:
f(t) = (t, 2 cos(t), 2 sin(t))
t = pi3

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