Analise a continuidade, a diferenciabilidade e a analiticidade da função f(z)=x^{3}+i(1-y)^{3}.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} definida por
f(z)=x^{3}+i(1-y)^{3},
onde z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}. O que se pede:
  • Analisar a continuidade de f.
  • Analisar a diferenciabilidade complexa de f (em quais pontos, se houver).
  • Analisar a analiticidade (holomorphicidade) de f.
Informações relevantes fornecidas: expressão explícita dos partes real e imaginária em termos de x e y:
u(x,y)=x^{3},\qquad v(x,y)=(1-y)^{3}.

Passo 2

Continuidade — ideia e verificação:
  • Lembrete rápido: uma função real de duas variáveis cuja expressão é polinomial é contínua em todo ponto, porque soma e produto de funções contínuas são contínuas.
  • Aqui u(x,y)=x^{3} e v(x,y)=(1-y)^{3} são polinômios em x,y, portanto contínuos em todo \mathbb{R}^{2}.
  • Como f(z)=u(x,y)+i v(x,y) é composta pelas partes reais e imaginárias contínuas, conclui-se que f é contínua em todo \mathbb{C}.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais necessárias:
  • Calcular u_x,u_y,v_x,v_y.
u_x=\frac{\partial}{\partial x}x^{3}=3x^{2},\qquad u_y=\frac{\partial}{\partial y}x^{3}=0.
v_x=\frac{\partial}{\partial x}(1-y)^{3}=0,\qquad v_y=\frac{\partial}{\partial y}(1-y)^{3}=3(1-y)^{2}\cdot(-1)=-3(1-y)^{2}.
Estas derivadas parciais existem e são contínuas (são funções polinomiais) em todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 4

Equações de Cauchy–Riemann e solução:
  • As equações de Cauchy–Riemann (CR) escritas em termos de u e v são
u_x=v_y \qquad\text{e}\qquad u_y=-v_x.
  • Substituindo as derivadas encontradas:
3x^{2} = -3(1-y)^{2} \qquad\text{e}\qquad 0 = -0.
  • A segunda equação é satisfeita sempre. A primeira implica
x^{2}=-(1-y)^{2}.
O quadrado de um número real é não negativo, então a igualdade só pode ocorrer se ambos os lados forem zero. Assim é necessário e suficiente que
x=0\quad\text{e}\quad 1-y=0,
ou seja x=0 e y=1. Portanto as equações CR são satisfeitas apenas no ponto (x,y)=(0,1), isto é, apenas em z=i.

Passo 5

Diferenciabilidade complexa em z=i:
  • Teorema útil: se u_x,u_y,v_x,v_y existem em uma vizinhança de um ponto, são contínuas no ponto, e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann naquele ponto, então f é complexamente diferenciável naquele ponto.
  • Aqui as derivadas parciais existem e são contínuas em toda vizinhança de qualquer ponto, e as equações CR só são satisfeitas em (0,1). Logo f é complexamente diferenciável apenas em z=i.
  • Vamos calcular a derivada f'(i). Uma fórmula conveniente (quando CR valem) é
f'(z)=u_x+i v_x.
No ponto (0,1) temos u_x(0,1)=3\cdot0^{2}=0 e v_x(0,1)=0, portanto
f'(i)=0+ i\cdot 0 =0.
  • Verificação direta pela definição (opcional, mas didático): para h=a+ib pequeno,
f(i+h)-f(i)=a^{3}-i b^{3},
pois f(i)=0. Então
\frac{f(i+h)-f(i)}{h}=\frac{a^{3}-i b^{3}}{a+ib}.
Como |a^{3}-i b^{3}|\le |a|^{3}+|b|^{3}\le 2|h|^{3}, divide por |h| e vai a 0 quando h\to 0. Assim o quociente diferencial tende a 0, confirmando f'(i)=0. Isso mostra que a derivada existe (e vale 0) no ponto z=i.

Passo 6

Diferenciabilidade fora de z=i:
  • Como as equações de Cauchy–Riemann não são satisfeitas em nenhum outro ponto, f não é complexamente diferenciável em nenhum outro z\neq i.

Passo 7

Analiticidade (holomorphicidade):
  • Definição curta: f é analítica (holomorfa) em um ponto se existe uma vizinhança aberta desse ponto onde f é complexamente diferenciável em todos os pontos dessa vizinhança.
  • Aqui f é diferenciável somente no ponto isolado z=i; não existe nenhuma vizinhança aberta de i onde f seja diferenciável em todos os pontos (as CR só valem exatamente em i). Logo f não é analítica em i.
  • Conclusão: f não é analítica em nenhum ponto de \mathbb{C}.

Resposta

f é contínua em todo \mathbb{C}.
f é complexamente diferenciável apenas em z=i, e f'(i)=0.
f não é analítica (não é holomorfa) em nenhum ponto de \mathbb{C}.

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