Analise a continuidade, a diferenciabilidade e a analiticidade da função
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
onde
com
. O que se pede:
- Analisar a continuidade de
. - Analisar a diferenciabilidade complexa de
(em quais pontos, se houver). - Analisar a analiticidade (holomorphicidade) de
.
Informações relevantes fornecidas: expressão explícita dos partes real e imaginária em termos de
e
:
Passo 2
Continuidade — ideia e verificação:
- Lembrete rápido: uma função real de duas variáveis cuja expressão é polinomial é contínua em todo ponto, porque soma e produto de funções contínuas são contínuas.
- Aqui
e são polinômios em , portanto contínuos em todo . - Como
é composta pelas partes reais e imaginárias contínuas, conclui-se que é contínua em todo .
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais necessárias:
- Calcular
.
Estas derivadas parciais existem e são contínuas (são funções polinomiais) em todo
.
Passo 4
Equações de Cauchy–Riemann e solução:
- As equações de Cauchy–Riemann (CR) escritas em termos de
e são
- Substituindo as derivadas encontradas:
- A segunda equação é satisfeita sempre. A primeira implica
O quadrado de um número real é não negativo, então a igualdade só pode ocorrer se ambos os lados forem zero. Assim é necessário e suficiente que
ou seja
e
. Portanto as equações CR são satisfeitas apenas no ponto
, isto é, apenas em
.
Passo 5
Diferenciabilidade complexa em
:
- Teorema útil: se
existem em uma vizinhança de um ponto, são contínuas no ponto, e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann naquele ponto, então é complexamente diferenciável naquele ponto. - Aqui as derivadas parciais existem e são contínuas em toda vizinhança de qualquer ponto, e as equações CR só são satisfeitas em
. Logo é complexamente diferenciável apenas em . - Vamos calcular a derivada
. Uma fórmula conveniente (quando CR valem) é
No ponto
temos
e
, portanto
- Verificação direta pela definição (opcional, mas didático): para
pequeno,
pois
. Então
Como
, divide por
e vai a
quando
. Assim o quociente diferencial tende a
, confirmando
. Isso mostra que a derivada existe (e vale
) no ponto
.
Passo 6
Diferenciabilidade fora de
:
- Como as equações de Cauchy–Riemann não são satisfeitas em nenhum outro ponto,
não é complexamente diferenciável em nenhum outro .
Passo 7
Analiticidade (holomorphicidade):
- Definição curta:
é analítica (holomorfa) em um ponto se existe uma vizinhança aberta desse ponto onde é complexamente diferenciável em todos os pontos dessa vizinhança. - Aqui
é diferenciável somente no ponto isolado ; não existe nenhuma vizinhança aberta de onde seja diferenciável em todos os pontos (as CR só valem exatamente em ). Logo não é analítica em . - Conclusão:
não é analítica em nenhum ponto de .