Usando a definição, verifique que \oint_{C}|z|^{2} d z=-1+i, em que C é o quadrado com vértices em z=0, z=1, z=1+\mathrm{i} e z=\mathrm{i}, orientado positivamente. O resultado desta integral contradiz o Teorema de Cauchy - Goursat? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá um contorno C que é o quadrado com vértices, na ordem positiva (sentido anti-horário): 0,\;1,\;1+\mathrm{i},\;\mathrm{i}, e pede duas coisas:
  • Verificar, usando a definição, que \displaystyle \oint_{C} |z|^{2}\,dz = -1 + \mathrm{i}.
  • Dizer se esse resultado contradiz o Teorema de Cauchy–Goursat e justificar a resposta.
Informações relevantes dadas:
  • O integrando é a função f(z)=|z|^{2}.
  • O contorno C é fechado e orientado positivamente (anti-horário).
  • Os vértices do quadrado são exatamente 0,\;1,\;1+\mathrm{i},\;\mathrm{i}.

Passo 2

Vou recordar a definição prática que usaremos: se uma curva no plano complexo é parametrizada por z(t) para t\in[a,b], então a integral de linha complexa é
\int_{a}^{b} f\big(z(t)\big)\,z'(t)\,dt,
ou seja, substitui-se z por z(t) e dz por z'(t)\,dt. Explicando cada símbolo:
  • z(t) é a função que descreve a curva no plano complexo conforme o parâmetro t.
  • z'(t) é a derivada de z(t) em relação a t; isso corresponde a dz/dt.
  • f\big(z(t)\big) é o valor da função complexa ao longo da curva.
    Essa é a “definição” operacional que o enunciado pede para usar: dividir C em segmentos simples, parametrizar cada segmento, e aplicar a fórmula acima.
Escolha do método: como o enunciado pede “usar a definição” e o contorno é um polígono simples, o método direto (parametrizar os quatro lados e somar as integrais) é o mais básico e conveniente.

Passo 3

Parametrizo os quatro lados do quadrado na ordem indicada (anti-horária):
Lado 1: de 0 até 1.
  • Parametrização: z_{1}(t)=t, com t\in[0,1].
  • Derivada: z_{1}'(t)=1.
  • Módulo ao quadrado: |z_{1}(t)|^{2}=t^{2}.
Lado 2: de 1 até 1+\mathrm{i}.
  • Parametrização: z_{2}(t)=1+\mathrm{i}t, com t\in[0,1].
  • Derivada: z_{2}'(t)=\mathrm{i}.
  • Módulo ao quadrado: |z_{2}(t)|^{2}=|1+\mathrm{i}t|^{2}=1+t^{2} (porque se z=x+\mathrm{i}y então |z|^{2}=x^{2}+y^{2}).
Lado 3: de 1+\mathrm{i} até \mathrm{i}.
  • Parametrização: z_{3}(t)=t+\mathrm{i}, com t\in[1,0] (note que aqui t decresce de 1 para 0 para seguir a orientação dada).
  • Derivada: z_{3}'(t)=1.
  • Módulo ao quadrado: |z_{3}(t)|^{2}=t^{2}+1.
Lado 4: de \mathrm{i} até 0.
  • Parametrização: z_{4}(t)=\mathrm{i}t, com t\in[1,0] (novamente t decresce).
  • Derivada: z_{4}'(t)=\mathrm{i}.
  • Módulo ao quadrado: |z_{4}(t)|^{2}=t^{2}.
Agora vou calcular cada integral \displaystyle \int f(z)\,dz ao longo de cada lado usando a fórmula do Passo 2.

Passo 4

Integral no Lado 1 ( 0\to1):
\int_{L_1} |z|^{2}\,dz = \int_{0}^{1} |z_{1}(t)|^{2}\,z_{1}'(t)\,dt = \int_{0}^{1} t^{2}\cdot 1\,dt.
Calcule a integral real:
\int_{0}^{1} t^{2}\,dt = \left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
Portanto \displaystyle \int_{L_1} |z|^{2}\,dz = \frac{1}{3}.

Passo 5

Integral no Lado 2 ( 1\to1+\mathrm{i}):
\int_{L_2} |z|^{2}\,dz = \int_{0}^{1} |z_{2}(t)|^{2}\,z_{2}'(t)\,dt = \int_{0}^{1} (1+t^{2})\cdot \mathrm{i}\,dt = \mathrm{i}\int_{0}^{1} (1+t^{2})\,dt.
Calcule:
\int_{0}^{1} (1+t^{2})\,dt = \left[t+\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}.
Logo
\int_{L_2} |z|^{2}\,dz = \mathrm{i}\cdot\frac{4}{3} = \frac{4\mathrm{i}}{3}.

Passo 6

Integral no Lado 3 ( 1+\mathrm{i}\to\mathrm{i}), com parametrização t indo de 1 a 0:
\int_{L_3} |z|^{2}\,dz = \int_{1}^{0} |z_{3}(t)|^{2}\,z_{3}'(t)\,dt = \int_{1}^{0} (t^{2}+1)\cdot 1\,dt.
Inverto os limites para integrar de 0 a 1 e introduzir sinal negativo:
\int_{1}^{0} (t^{2}+1)\,dt = -\int_{0}^{1} (t^{2}+1)\,dt = -\frac{4}{3}.
Portanto \displaystyle \int_{L_3} |z|^{2}\,dz = -\frac{4}{3}.

Passo 7

Integral no Lado 4 ( \mathrm{i}\to 0), com t de 1 a 0:
\int_{L_4} |z|^{2}\,dz = \int_{1}^{0} |z_{4}(t)|^{2}\,z_{4}'(t)\,dt = \int_{1}^{0} t^{2}\cdot \mathrm{i}\,dt = \mathrm{i}\int_{1}^{0} t^{2}\,dt.
Inverte-se os limites:
\mathrm{i}\int_{1}^{0} t^{2}\,dt = -\mathrm{i}\int_{0}^{1} t^{2}\,dt = -\mathrm{i}\cdot\frac{1}{3} = -\frac{\mathrm{i}}{3}.
Portanto \displaystyle \int_{L_4} |z|^{2}\,dz = -\frac{\mathrm{i}}{3}.

Passo 8

Somando as contribuições dos quatro lados:
\oint_{C} |z|^{2}\,dz = \frac{1}{3} + \frac{4\mathrm{i}}{3} - \frac{4}{3} - \frac{\mathrm{i}}{3}.
Agrupando parte real e imaginária:
\text{parte real: }\frac{1}{3}-\frac{4}{3}=-\frac{3}{3}=-1, \qquad \text{parte imaginária: }\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1.á
Portanto
\oint_{C} |z|^{2}\,dz = -1 + \mathrm{i},
que é exatamente o resultado pedido.

Passo 9

Agora respondo se isso contradiz o Teorema de Cauchy–Goursat. Primeiro, uma versão simples do teorema diz: se f é holomorfa (analítica) em uma região aberta que contém o interior do contorno fechado C e C está em uma curva simples, então
\oint_{C} f(z)\,dz = 0.
No nosso caso, f(z)=|z|^{2}. Vou justificar por que o teorema não se aplica: f não é holomorfa no interior do quadrado. Duas maneiras simples de ver isso:
  1. Observação imediata: |z|^{2}=z\overline{z} depende explicitamente de \overline{z}. Uma função holomorfa localmente não pode depender da conjugada \overline{z} de forma não-trivial. Portanto f não é holomorfa.
  2. Verificação pelas equações de Cauchy–Riemann: escrevendo z=x+\mathrm{i}y com x,y\in\mathbb{R}, tem-se
|z|^{2}=x^{2}+y^{2}.
Se escrevemos f=u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y), aqui u(x,y)=x^{2}+y^{2} e v(x,y)=0. As equações de Cauchy–Riemann exigem
u_{x}=v_{y},\qquad u_{y}=-v_{x}.
Calcule as derivadas:
u_{x}=2x,\quad u_{y}=2y,\quad v_{x}=0,\quad v_{y}=0.
As equações pedem 2x=0 e 2y=0, que só ocorrem simultaneamente no ponto (x,y)=(0,0). Assim f não satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em nenhum ponto do interior do quadrado exceto, possivelmente, na origem; portanto f não é holomorfa na região que contém o interior do contorno.
Conclusão: as hipóteses do Teorema de Cauchy–Goursat não são satisfeitas, portanto o fato de a integral ser diferente de zero não contradiz o teorema.

Passo 10

Resumo final e incentivo: calculamos a integral diretamente pelo método padrão de parametrização de cada lado e vimos que \oint_{C}|z|^{2}\,dz=-1+\mathrm{i}. Não há contradição com Cauchy–Goursat porque a função integrada não é holomorfa no interior do quadrado. Boa! Isso ilustra bem por que é importante checar as hipóteses dos teoremas antes de aplicá-los — não basta que a curva pareça “bonitinha”, a função também tem que ter as propriedades exigidas.

Resposta

-1+\mathrm{i}
Não. Porque |z|^{2} não é holomorfa no interior do quadrado (depende de \overline{z}; as equações de Cauchy–Riemann não se satisfazem em geral).

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