Usando a definição, verifique que
, em que
é o quadrado com vértices em
e
, orientado positivamente. O resultado desta integral contradiz o Teorema de Cauchy - Goursat? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá um contorno
que é o quadrado com vértices, na ordem positiva (sentido anti-horário):
, e pede duas coisas:
- Verificar, usando a definição, que
. - Dizer se esse resultado contradiz o Teorema de Cauchy–Goursat e justificar a resposta.
Informações relevantes dadas:
- O integrando é a função
. - O contorno
é fechado e orientado positivamente (anti-horário). - Os vértices do quadrado são exatamente
.
Passo 2
Vou recordar a definição prática que usaremos: se uma curva no plano complexo é parametrizada por
para
, então a integral de linha complexa é
ou seja, substitui-se
por
e
por
. Explicando cada símbolo:
-
é a função que descreve a curva no plano complexo conforme o parâmetro . -
é a derivada de em relação a ; isso corresponde a . -
é o valor da função complexa ao longo da curva.
Essa é a “definição” operacional que o enunciado pede para usar: dividirem segmentos simples, parametrizar cada segmento, e aplicar a fórmula acima.
Escolha do método: como o enunciado pede “usar a definição” e o contorno é um polígono simples, o método direto (parametrizar os quatro lados e somar as integrais) é o mais básico e conveniente.
Passo 3
Parametrizo os quatro lados do quadrado na ordem indicada (anti-horária):
Lado 1: de
até
.
- Parametrização:
, com . - Derivada:
. - Módulo ao quadrado:
.
Lado 2: de
até
.
- Parametrização:
, com . - Derivada:
. - Módulo ao quadrado:
(porque se então ).
Lado 3: de
até
.
- Parametrização:
, com (note que aqui decresce de para para seguir a orientação dada). - Derivada:
. - Módulo ao quadrado:
.
Lado 4: de
até
.
- Parametrização:
, com (novamente decresce). - Derivada:
. - Módulo ao quadrado:
.
Agora vou calcular cada integral
ao longo de cada lado usando a fórmula do Passo 2.
Passo 4
Integral no Lado 1 (
):
Calcule a integral real:
Portanto
Passo 5
Integral no Lado 2 (
):
Calcule:
Logo
Passo 6
Integral no Lado 3 (
), com parametrização
indo de
a
:
Inverto os limites para integrar de
a
e introduzir sinal negativo:
Portanto
Passo 7
Integral no Lado 4 (
), com
de
a
:
Inverte-se os limites:
Portanto
Passo 8
Somando as contribuições dos quatro lados:
Agrupando parte real e imaginária:
Portanto
que é exatamente o resultado pedido.
Passo 9
Agora respondo se isso contradiz o Teorema de Cauchy–Goursat. Primeiro, uma versão simples do teorema diz: se
é holomorfa (analítica) em uma região aberta que contém o interior do contorno fechado
e
está em uma curva simples, então
No nosso caso,
. Vou justificar por que o teorema não se aplica:
não é holomorfa no interior do quadrado. Duas maneiras simples de ver isso:
-
Observação imediata:
depende explicitamente de . Uma função holomorfa localmente não pode depender da conjugada de forma não-trivial. Portanto não é holomorfa. -
Verificação pelas equações de Cauchy–Riemann: escrevendo
com , tem-se
Se escrevemos
, aqui
e
. As equações de Cauchy–Riemann exigem
Calcule as derivadas:
As equações pedem
e
, que só ocorrem simultaneamente no ponto
. Assim
não satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em nenhum ponto do interior do quadrado exceto, possivelmente, na origem; portanto
não é holomorfa na região que contém o interior do contorno.
Conclusão: as hipóteses do Teorema de Cauchy–Goursat não são satisfeitas, portanto o fato de a integral ser diferente de zero não contradiz o teorema.
Passo 10
Resumo final e incentivo: calculamos a integral diretamente pelo método padrão de parametrização de cada lado e vimos que
. Não há contradição com Cauchy–Goursat porque a função integrada não é holomorfa no interior do quadrado. Boa! Isso ilustra bem por que é importante checar as hipóteses dos teoremas antes de aplicá-los — não basta que a curva pareça “bonitinha”, a função também tem que ter as propriedades exigidas.
Resposta
Não. Porque