Determine as raízes z_{1} e z_{2} de P(z)=z^{2}-(1+i) z+(6-17 i)=0 e explique a razão pela qual z_{2} \neq \bar{z}_{1}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Determinar as raízes z_{1} e z_{2} do polinômio
P(z)=z^{2}-(1+i)z+(6-17i)=0.
Explicar por que z_{2}\neq\overline{z_{1}}.
Informações dadas (peguei-as do enunciado):
O polinômio é de grau 2 com coeficientes complexos: o termo linear é -(1+i) e o termo independente é 6-17i.
Não há imagem ou dado extra.
Passo 2
Escolha do método e lembrete da fórmula: vou usar a fórmula quadrática (método direto e básico, aplicável para coeficientes complexos). A fórmula para as raízes de um polinômio \displaystyle a z^{2}+b z+c=0 é
z=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde:
a é o coeficiente de z^{2},
b é o coeficiente de z,
c é o termo constante,
\sqrt{\cdot} denota uma raiz quadrada (no caso complexo há duas escolhas opostas, que darão as duas raízes).
Explicando passo a passo: primeiro identifico a,b,c; depois calculo o discriminante \Delta=b^{2}-4ac; em seguida calculo uma raiz quadrada de \Delta na forma u+iv resolvendo um pequeno sistema; por fim aplico a fórmula e simplifico. Vamos com calma — é tranquilo se fizermos passo a passo.
Passo 3
Identificação dos coeficientes a usar na fórmula (extraído do polinômio dado):
a=1,\qquad b=-(1+i),\qquad c=6-17i.
Passo 4
Calcular o discriminante \Delta=b^{2}-4ac passo a passo.
Verificação rápida (cheirinho de segurança): pelas relações de Viète para z^{2}-(1+i)z+(6-17i)=0 deve valer
z_{1}+z_{2}=1+i,\qquad z_{1}z_{2}=6-17i.
Calculando com as raízes encontradas:
(3+4i)+(-2-3i)=1+i,
(3+4i)(-2-3i)=-6-9i-8i-12i^{2}=-6-17i+12=6-17i.
Está tudo consistente — bom sinal!
Passo 8
Por que z_{2}\neq\overline{z_{1}}? Primeiro veja numericamente:
\overline{z_{1}}=\overline{3+4i}=3-4i,
e isso é diferente de z_{2}=-2-3i. Então numericamente não são conjugados.
Agora a razão teórica (explicação didática e curta): o fato de raízes aparecerem em pares conjugados só é garantido quando o polinômio tem coeficientes reais. Prova simples: se P tem coeficientes reais e P(z)=0, tomando conjugado complexa de ambos os lados obtém-se P(\overline{z})=0, logo \overline{z} também é raiz. Aqui, porém, os coeficientes do polinômio não são reais: o coeficiente de z é -(1+i) e o termo independente é 6-17i, ambos não reais. Assim a propriedade de conjugar raízes não vale, e de fato \overline{z_{1}} não é raiz de P (por exemplo P(3-4i)\neq0, dá -8-40i, não zero).
Resposta
z_{1}=3+4i
z_{2}=-2-3i
z_{2}\neq\overline{z_{1}} porque os coeficientes do polinômio (-(1+i) e 6-17i) não são reais; a propriedade “raízes aparecem em pares conjugados” só vale para polinômios com coeficientes reais.