Determine as raízes z_{1} e z_{2} de P(z)=z^{2}-(1+i) z+(6-17 i)=0 e explique a razão pela qual z_{2} \neq \bar{z}_{1}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar as raízes z_{1} e z_{2} do polinômio
P(z)=z^{2}-(1+i)z+(6-17i)=0.
  • Explicar por que z_{2}\neq\overline{z_{1}}.
Informações dadas (peguei-as do enunciado):
  • O polinômio é de grau 2 com coeficientes complexos: o termo linear é -(1+i) e o termo independente é 6-17i.
  • Não há imagem ou dado extra.

Passo 2

Escolha do método e lembrete da fórmula: vou usar a fórmula quadrática (método direto e básico, aplicável para coeficientes complexos). A fórmula para as raízes de um polinômio \displaystyle a z^{2}+b z+c=0 é
z=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde:
  • a é o coeficiente de z^{2},
  • b é o coeficiente de z,
  • c é o termo constante,
  • \sqrt{\cdot} denota uma raiz quadrada (no caso complexo há duas escolhas opostas, que darão as duas raízes).
Explicando passo a passo: primeiro identifico a,b,c; depois calculo o discriminante \Delta=b^{2}-4ac; em seguida calculo uma raiz quadrada de \Delta na forma u+iv resolvendo um pequeno sistema; por fim aplico a fórmula e simplifico. Vamos com calma — é tranquilo se fizermos passo a passo.

Passo 3

Identificação dos coeficientes a usar na fórmula (extraído do polinômio dado):
a=1,\qquad b=-(1+i),\qquad c=6-17i.

Passo 4

Calcular o discriminante \Delta=b^{2}-4ac passo a passo.
Primeiro b^{2}:
b=-(1+i)=-1-i,
b^{2}=(-1-i)^{2}=(-1)^{2}+2(-1)(-i)+(-i)^{2}=1+2i-1=2i.
Depois 4ac:
4ac=4\cdot1\cdot(6-17i)=24-68i.
Agora o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=2i-(24-68i)=-24+70i.

Passo 5

Precisamos da raiz quadrada de [\Delta=-24+70i). Vou explicar como encontrar \sqrt{x+iy} de forma prática.
Queremos u+iv tal que
(u+iv)^{2}=x+iy.
Isso se traduz no sistema real
u^{2}-v^{2}=x,\qquad 2uv=y.
Aqui x=-24 e y=70. Então:
u^{2}-v^{2}=-24,\qquad 2uv=70\Rightarrow uv=35.
Da segunda equação v=\dfrac{35}{u} (se u\neq0). Substituindo na primeira:
u^{2}-\left(\dfrac{35}{u}\right)^{2}=-24.
Multiplicando por u^{2}:
u^{4}+24u^{2}-35^{2}=0.
Definindo t=u^{2} obtemos a quadrática
t^{2}+24t-1225=0.
O discriminante desta é
\Delta_{t}=24^{2}+4\cdot1225=576+4900=5476=74^{2}.
Logo
t=\frac{-24\pm74}{2}=\begin{cases}25,\\\ -49.\end{cases}
Descartamos t=-49\] porque \(u^{2} não pode ser negativo; então u^{2}=25 e u=\pm5.
Para u=5 temos v=35/5=7. Para u=-5 temos v=35/(-5)=-7. Portanto as duas raízes quadradas de \Delta são
\sqrt{\Delta}=5+7i\quad\text{ou}\quad -5-7i.
(essas duas escolhas darão as duas combinações \pm na fórmula quadrática).

Passo 6

Aplicar a fórmula quadrática com -b=1+i e \sqrt{\Delta}=5+7i (a outra escolha dá a segunda raiz):
z=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+i\pm(5+7i)}{2}.
Calcule as duas opções:
  1. Com o sinal +:
z_{1}=\frac{1+i+(5+7i)}{2}=\frac{6+8i}{2}=3+4i.
  1. Com o sinal -:
z_{2}=\frac{1+i-(5+7i)}{2}=\frac{-4-6i}{2}=-2-3i.
Portanto as raízes são z_{1}=3+4i e z_{2}=-2-3i.

Passo 7

Verificação rápida (cheirinho de segurança): pelas relações de Viète para z^{2}-(1+i)z+(6-17i)=0 deve valer
z_{1}+z_{2}=1+i,\qquad z_{1}z_{2}=6-17i.
Calculando com as raízes encontradas:
(3+4i)+(-2-3i)=1+i,
(3+4i)(-2-3i)=-6-9i-8i-12i^{2}=-6-17i+12=6-17i.
Está tudo consistente — bom sinal!

Passo 8

Por que z_{2}\neq\overline{z_{1}}? Primeiro veja numericamente:
\overline{z_{1}}=\overline{3+4i}=3-4i,
e isso é diferente de z_{2}=-2-3i. Então numericamente não são conjugados.
Agora a razão teórica (explicação didática e curta): o fato de raízes aparecerem em pares conjugados só é garantido quando o polinômio tem coeficientes reais. Prova simples: se P tem coeficientes reais e P(z)=0, tomando conjugado complexa de ambos os lados obtém-se P(\overline{z})=0, logo \overline{z} também é raiz. Aqui, porém, os coeficientes do polinômio não são reais: o coeficiente de z é -(1+i) e o termo independente é 6-17i, ambos não reais. Assim a propriedade de conjugar raízes não vale, e de fato \overline{z_{1}} não é raiz de P (por exemplo P(3-4i)\neq0, dá -8-40i, não zero).

Resposta

z_{1}=3+4i
z_{2}=-2-3i
z_{2}\neq\overline{z_{1}} porque os coeficientes do polinômio (-(1+i) e 6-17i) não são reais; a propriedade “raízes aparecem em pares conjugados” só vale para polinômios com coeficientes reais.

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