Analise a continuidade da função f(x)=2 x^2+5 x-3x^2-2 x-15 e indique os tipos de descontinuidades encontradas.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a continuidade da função
f(x)=2x^2+5x-3x^2-2x-15
Isso envolve achar o domínio de f, verificar onde o denominador se anula e classificar os tipos de descontinuidade (removível ou infinita).

Passo 2

Determinar o domínio resolvendo
x^2-2x-15=0,
As raízes dessa equação são
x=2pmraiz4+602=2pm82implies x=5ou x=-3
Logo o domínio é
Rsetminus-3,5

Passo 3

Fatorar numerador e denominador para ver se há cancelamentos:
2x^2+5x-3=(x+3)(2x-1), x^2-2x-15=(x+3)(x-5)
Dessa forma, para xneq -3 e xneq5,
f(x)=(x+3)(2x-1)(x+3)(x-5) =2x-1x-5

Passo 4

Analisar x=-3. Nesse ponto f não está definida, mas o fator (x+3) cancelou, então o limite existe e é finito:
limxto -3f(x) =limxto -32x-1x-5 =2(-3)-1-3-5 =-7-8 =78
Como o limite existe mas f(-3) não está definido, há uma descontinuidade removível em x=-3.

Passo 5

Analisar x=5. Próximo a 5, o numerador (2x-1) vale 9 enquanto o denominador x-5 tende a zero, cambiando de sinal. Logo
limxto5^-f(x)=-infty, limxto5^+f(x)=+infty
Isso caracteriza uma descontinuidade infinita (assimptótica) em x=5.

Passo 6

Concluir que nos demais pontos do domínio Rsetminus-3,5 a função é razão de polinômios sem zeros do denominador, logo é contínua nesses pontos.

Resposta

Domínio: Rsetminus-3,5.
Em x=-3: descontinuidade removível (buraco), com limxto-3f(x)=7/8.
Em x=5: descontinuidade infinita (assíntota vertical).

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