Exercício 5 (D.2.3.1)
Verifique as seguintes relações:
(Observação: Estas são as relações análogas a
(\int_{-\pi}^{\pi} \cos (n x) \operatorname{sen}(n x) d x=0].

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
integral-pi^pi cos(nx)sin(nx),dx = 0
O conteúdo aqui é o cálculo de integrais de funções trigonométricas, usando identidades de produto e simetria de funções ímpares e pares.

Passo 2

Usamos a identidade-produto
cos(nx)sin(nx)=tfrac12sin(2nx)

Passo 3

Substituindo na integral, resulta
integral-pi^pi cos(nx)sin(nx),dx = tfrac12integral-pi^pi sin(2nx),dx

Passo 4

Como sin(2nx) é função ímpar em x, ou seja, sin(2n(-x))=-sin(2nx), a integral sobre o intervalo simétrico [-pi,pi] anula-se:
integral-pi^pi sin(2nx),dx = 0

Passo 5

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integral-pi^pi cos(nx)sin(nx),dx = tfrac12cdot 0 = 0

Resposta

0

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