Exercício 22. Seja f: R^n longrightarrow R, f(x)=psi(lang<= a, xrang<=), onde psi: R longrightarrow R é de classe C^2. Mostre que, se n >= 2, todo ponto crítico de f é degenerado.

Passo 1

O enunciado define
f:R^ntoR, f(x)=psil(lang<= a,xrang<=r),
onde psi:RtoR é C^2 e n>=2. Queremos mostrar que todo ponto crítico de f é degenerado, isto é, que a matriz Hessiana em qualquer ponto crítico é singular.

Passo 2

Vamos achar o gradiente de f usando a regra da cadeia. Como lang<= a,xrang<= é uma forma linear em x, temos
nabla f(x) =psi'l(lang<= a,xrang<=r),nablalang<= a,xrang<= =psi'l(lang<= a,xrang<=r),a

Passo 3

Um ponto x é crítico se nabla f(x)=0. Da expressão acima segue
psi'l(lang<= a,xrang<=r),a=0
Se a=0 então f é constante e todo ponto é crítico, e a Hessiana será a matriz nula (singular). Se aneq0, então a única possibilidade é
psi'l(lang<= a,xrang<=r)=0
Chamemos de s0 uma raiz de psi', isto é, psi'(s0)=0. Logo os pontos críticos são exatamente aqueles com lang<= a,xrang<==s0, um hiperplano em R^n.

Passo 4

Agora calculamos a matriz Hessiana D^2f(x). Como nabla f(x)=psi'(lang<= a,xrang<=),a, aplicamos derivada novamente em x:
D^2f(x) =psi''l(lang<= a,xrang<=r),a,a^T
É uma matriz do tipo c,a,a^T, com c=psi''(lang<= a,xrang<=).

Passo 5

Em um ponto crítico x temos lang<= a,xrang<==s0, então
D^2f(x) =psi''(s0),a,a^T
Se psi''(s0)=0, a Hessiana é a matriz nula, claramente singular. Se psi''(s0)neq0, então a,a^T é uma matriz de posto 1, o que em dimensão n>=2 implica que ela tem n-1 autovalores zero, logo continua singular. Em qualquer situação a Hessiana em ponto crítico não é invertível, ou seja, todo ponto crítico é degenerado.

Resposta

Todo ponto crítico de f é degenerado porque sua matriz Hessiana em tais pontos é singular.

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