Exercício 22. Seja
, onde
é de classe
. Mostre que, se
, todo ponto crítico de
é degenerado.
Passo 1
O enunciado define
onde
é
e
. Queremos mostrar que todo ponto crítico de
é degenerado, isto é, que a matriz Hessiana em qualquer ponto crítico é singular.
Passo 2
Vamos achar o gradiente de
usando a regra da cadeia. Como
é uma forma linear em
, temos
Passo 3
Um ponto
é crítico se
. Da expressão acima segue
Se
então
é constante e todo ponto é crítico, e a Hessiana será a matriz nula (singular). Se
, então a única possibilidade é
Chamemos de
uma raiz de
, isto é,
. Logo os pontos críticos são exatamente aqueles com
, um hiperplano em
.
Passo 4
Agora calculamos a matriz Hessiana
. Como
, aplicamos derivada novamente em
:
É uma matriz do tipo
, com
.
Passo 5
Em um ponto crítico
temos
, então
Se
, a Hessiana é a matriz nula, claramente singular. Se
, então
é uma matriz de posto 1, o que em dimensão
implica que ela tem
autovalores zero, logo continua singular. Em qualquer situação a Hessiana em ponto crítico não é invertível, ou seja, todo ponto crítico é degenerado.
Resposta
Todo ponto crítico de
é degenerado porque sua matriz Hessiana em tais pontos é singular.