Questão 3. (0,5) Seja
um operador linear não nulo. Se
, para algum
, prove que
.
Passo 1
O enunciado fala de
linear não nulo com
para algum inteiro
. O conteúdo aqui é teoria de operadores nilpotentes: em um espaço de dimensão 2, o índice de nilpotência (menor
tal que
) não pode exceder 2. Vamos usar posto–nulidade e a restrição de
à sua imagem para concluir que
.
Passo 2
Como
e
implica
, temos
mas
. Pela fórmula de posto–nulidade
,
seguimos que
e
.
seguimos que
Passo 3
Defina
como a restrição de
a
, isto é,
Como
em todo
, em particular
em
. Mas
é de dimensão 1, e o único operador nilpotente em espaço unidimensional é o operador zero. Logo
, ou seja,
Isso significa que toda imagem de
cai em
, de modo que