Questão 3. (0,5) Seja T: R^2 R^2 um operador linear não nulo. Se T^n=0, para algum n in Z, n>2, prove que T^2=0.

Passo 1

O enunciado fala de Tcolon R^2toR^2 linear não nulo com T^n=0 para algum inteiro n>2. O conteúdo aqui é teoria de operadores nilpotentes: em um espaço de dimensão 2, o índice de nilpotência (menor k tal que T^k=0) não pode exceder 2. Vamos usar posto–nulidade e a restrição de T à sua imagem para concluir que T^2=0.

Passo 2

Como Tneq0 e T^n=0 implica det(T)=0, temos ker(T)neq0 mas ker(T)neqR^2. Pela fórmula de posto–nulidade
dim(ker(T))+dim(im(T))=2,
seguimos que
dim(ker(T))=1 e dim(im(T))=1.

Passo 3

Defina S como a restrição de T a im(T), isto é,
S=T|im(T)colon im(T)toim(T)
Como T^n=0 em todo R^2, em particular S^n=0 em im(T). Mas im(T) é de dimensão 1, e o único operador nilpotente em espaço unidimensional é o operador zero. Logo S=0, ou seja,
T(v)=0forall vinim(T)
Isso significa que toda imagem de T cai em ker(T), de modo que
T^2(x)=Tl(T(x)r)=0 forall xinR^2

Resposta

T^2=0.

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