O conteúdo aqui é continuidade de função definida por partes: primeiro verificar que cada ramo é contínuo no seu domínio, depois checar limites laterais em x=0 e compará-los com o valor g(0)=2/e.]
Passo 2
Para x>0 temos
g(x)=1-cos(2x)xl(e^x+1-er) =1-cos(2x)e,x,(e^x-1)
Como xmapsto1-cos(2x), xmapsto x e xmapsto e^x-1 são contínuas e x>0implies e^x-1>0, o denominador nunca zera. Logo g é contínua em (0,infty).
Para x<0
g(x)=x+2e,(3^1/x-1),
e como 3^1/x-1neq0 quando x<0 e todas as funções envolvidas são contínuas, g é contínua em (-infty,0).
Passo 3
Calcular limxto0^+g(x). Escrevemos
g(x) =1-cos(2x)e,x,(e^x-1) =2sin^2(x)e,x,(e^x-1)
Para xto0 vale sin xsim x e e^x-1sim x, logo
2sin^2(x)x,(e^x-1);longrightarrow;2,x^2xcdot x=2
Portanto
limxto0^+g(x)=2e
Passo 4
Calcular limxto0^-g(x). Quando xto0^- temos 1/xto-infty, então 3^1/xto0. Assim