Analise a continuidade da função:
g(x)= 1-cos (2 x)x(e^x+1-e), & se x>0 2e, & se x=0 x+2e(3^1x-1), & se x<0

Passo 1

O enunciado pede para estudar a continuidade da função
g(x)= 1-cos(2x)xl(e^x+1-er), & x>0,[1em] 2e, & x=0,[0.5em] x+2el(3^1x-1r), & x<0
O conteúdo aqui é continuidade de função definida por partes: primeiro verificar que cada ramo é contínuo no seu domínio, depois checar limites laterais em x=0 e compará-los com o valor g(0)=2/e.]

Passo 2

Para x>0 temos
g(x)=1-cos(2x)xl(e^x+1-er) =1-cos(2x)e,x,(e^x-1)
Como xmapsto1-cos(2x), xmapsto x e xmapsto e^x-1 são contínuas e x>0implies e^x-1>0, o denominador nunca zera. Logo g é contínua em (0,infty).
Para x<0
g(x)=x+2e,(3^1/x-1),
e como 3^1/x-1neq0 quando x<0 e todas as funções envolvidas são contínuas, g é contínua em (-infty,0).

Passo 3

Calcular limxto0^+g(x). Escrevemos
g(x) =1-cos(2x)e,x,(e^x-1) =2sin^2(x)e,x,(e^x-1)
Para xto0 vale sin xsim x e e^x-1sim x, logo
2sin^2(x)x,(e^x-1);longrightarrow;2,x^2xcdot x=2
Portanto
limxto0^+g(x)=2e

Passo 4

Calcular limxto0^-g(x). Quando xto0^- temos 1/xto-infty, então 3^1/xto0. Assim
g(x) =x+2e,(3^1/x-1) ;longrightarrow; 2e,(0-1)=-2e
Logo
limxto0^-g(x)=-2e

Passo 5

Comparando os limites laterais e o valor no ponto:
limxto0^-g(x)=-2e, limxto0^+g(x)=2e, g(0)=2e
Como o limite pela esquerda difere do limite pela direita, g não é contínua em x=0.

Resposta

g é contínua em (-infty,0) e em (0,infty) e apresenta descontinuidade de salto em x=0.

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