Problema 98 Simplifique a expressão x^4-x^3 y+x^2 y^2+2 x^2 y-2 x y^2+2 y^3x^2-x y+y^2.

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão
x^4-x^3y+x^2y^2+2x^2y-2xy^2+2y^3x^2-xy+y^2
e pede sua simplificação. O conteúdo envolve divisão de polinômios em x, tratando y como parâmetro.

Passo 2

Dividimos o numerador pelo denominador em x. Primeiro, dividimos o termo de maior grau x^4 por x^2, obtendo o primeiro termo do quociente:
x^4div x^2=x^2
Multiplicando o denominador por x^2 obtemos
x^2(x^2-xy+y^2)=x^4-x^3y+x^2y^2,
que, ao subtrair do numerador original, deixa o resto
2x^2y-2xy^2+2y^3

Passo 3

Agora dividimos o resto pelo denominador. O termo de maior grau em x do resto é 2x^2y, cuja divisão por x^2
2x^2ydiv x^2=2y
Multiplicando o denominador por 2y temos
2y(x^2-xy+y^2)=2x^2y-2xy^2+2y^3,
que é exatamente o resto anterior, gerando resto zero e finalizando a divisão.

Passo 4

Como o resto é zero, a expressão original é igual ao quociente obtido:
x^2+2y

Resposta

,x^2+2y

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