Mostre que, para |x|^2=x1^2+ldots+xn^2, temos
integralR^n e^-a|x|^2 d x=(pia)^n2
Dica: Pode usar o resultado visto em sala de aula: integral-infty^infty e^-t^2 d t=raizpi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral gaussiana em n dimensões
integralR^n e^-a|x|^2,dx,
onde |x|^2=x1^2+cdots+xn^2 e a>0.
O que vamos usar é que essa integral se separa em produto de n integrais unidimensionais e o resultado clássico
integral-infty^inftye^-t^2,dt=raizpi

Passo 2

Escrevendo dx=dx1cdots dxn e usando
|x|^2=x1^2+cdots+xn^2,
vemos que
integralR^ne^-a|x|^2,dx =integral-infty^inftye^-a x1^2,dx1;timescdotstimes;integral-infty^inftye^-a xn^2,dxn

Passo 3

Basta então calcular a integral unidimensional
I=integral-infty^inftye^-a x^2,dx
Fazendo a mudança de variável
t=raiza,x, dt=raiza,dx,
temos
I=integral-infty^inftye^-t^2dtraiza =1raizaintegral-infty^inftye^-t^2,dt =raizpiraiza =raizpia

Passo 4

Voltando ao produto de n cópias de I, obtemos
integralR^ne^-a|x|^2,dx =l(raiztfracpiar)^n =l(tfracpiar)^tfracn2

Resposta

integralR^ne^-a|x|^2,dx =l(tfracpiar)^tfracn2

Exercícios relacionados