Defina a função Gamma por
Gamma(x)=integral0^infty e^-t t^x-1 d t
Mostre, usando Mudança de Coordenadas, que se b>0, então
Gamma(b+12)=2 pi^b+12 integral0^infty e^-pi r^2 r^b d r

Passo 1

O enunciado nos dá a definição da função Gama
Gamma(x)=integral0^inftye^-t,t^x-1,dt
e pede para mostrarmos, via mudança de variável, que para b>0 vale
Gammal(b+12r) = 2,pi^b+12 integral0^inftye^-pi r^2,r^b,dr
Aqui vamos usar a técnica de mudança de coordenadas (substituição) em integrais impróprias.

Passo 2

Escolhemos a substituição típica que relaciona a exponencial e^-t com e^-pi r^2. Definimos
t=pi,r^2,
de modo que, quando r vai de 0 a infty, t também vai de 0 a infty.

Passo 3

Calculamos o diferencial dt. Da relação t=pi r^2 segue
dt = 2,pi,r,dr

Passo 4

Reescrevemos a integral de Gammal(tfracb+12r) em termos de r. Temos
Gammal(tfracb+12r) = integral0^infty e^-t,t^b+12-1,dt
Substituindo t=pi r^2 e dt=2pi r,dr, obtemos
t^b+12-1 =(pi,r^2)^b-12 =pi^b-12,r^b-1,
e
e^-t=e^-pi r^2
Logo,
Gammal(tfracb+12r) = integral0^infty e^-pi r^2, l(pi^b-12,r^b-1r), l(2pi,r,drr)

Passo 5

Agrupamos os fatores constantes e as potências de r:
pi^b-12times 2pi =2,pi^b-12+1 =2,pi^b+12,
e
r^b-1times r = r^b
Portanto a integral fica
Gammal(tfracb+12r) = 2,pi^b+12 integral0^infty e^-pi r^2,r^b,dr

Resposta

Gammal(b+12r) = 2,pi^b+12 integral0^inftye^-pi r^2,r^b,dr

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