Defina a função
por
Mostre, usando Mudança de Coordenadas, que se
, então
Passo 1
O enunciado nos dá a definição da função Gama
e pede para mostrarmos, via mudança de variável, que para
vale
Aqui vamos usar a técnica de mudança de coordenadas (substituição) em integrais impróprias.
Passo 2
Escolhemos a substituição típica que relaciona a exponencial
com
. Definimos
de modo que, quando
vai de
a
,
também vai de
a
.
Passo 3
Calculamos o diferencial
. Da relação
segue
Passo 4
Reescrevemos a integral de
em termos de
. Temos
Substituindo
e
, obtemos
e
Logo,
Passo 5
Agrupamos os fatores constantes e as potências de
:
e
Portanto a integral fica