Defina f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} por f(x)=1, se x \in \mathbb{Q} e f(x)=0, se x \notin \mathbb{Q}. Existe p \in \mathbb{R} tal que f é contínua em p ? Se sim, determine-o pelo menos um.

Passo 1

O enunciado define a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) por \[f(x)=\begin{cases} 1, & x\in\mathbb{Q},\\[4pt] 0, & x\notin\mathbb{Q}, \end{cases}
e pergunta se existe p\in\mathbb{R}\] tal que \(f seja contínua em p.
Informações relevantes dadas:
  • O valor de f é 1 em todos os números racionais.
  • O valor de f é 0 em todos os números irracionais.
  • Precisamos decidir se existe algum ponto p onde f é contínua e, se existir, determinar pelo menos um.]

Passo 2

Relembrando a definição prática de continuidade (versão \varepsilon- \delta) e uma forma alternativa útil (critérios sequenciais):
  • Definição \varepsilon- \delta: f é contínua em p se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que |x-p|<\delta, tem-se |f(x)-f(p)|<\varepsilon.
    Explanação rápida: isso diz que valores de f(x) ficam arbitrariamente próximos de f(p) quando x está suficientemente próximo de p.
  • Critério sequencial: f é contínua em p se, e somente se, para toda sequência \{x_n\} que converge para p vale f(x_n)\to f(p).
    Explicação: isso é prático porque permite testar continuidade usando sequências que se aproximam de p.

Passo 3

Um fato essencial sobre \mathbb{Q} e \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} (os irracionais):
  • Ambos são densos em \mathbb{R}. Isso significa que, para qualquer p\in\mathbb{R} e qualquer \delta>0, existem racionais e irracionais dentro do intervalo (p-\delta,p+\delta).
    Intuição: não importa o quão pequeno seja o intervalo ao redor de p, sempre há racionais e irracionais lá dentro.
  • Construção explícita de sequências (se quiser ver na prática):
    • Pode-se aproximar p por racionais, por exemplo tomando as truncaturas decimais \displaystyle r_n=\frac{\lfloor 10^n p\rfloor}{10^n}. Então r_n\in\mathbb{Q} e r_n\to p.
    • Para obter irracionais aproximando p, pegue s_n=r_n+\dfrac{\sqrt{2}}{10^n}. Cada s_n é soma de um racional com um irracional, logo s_n é irracional, e s_n\to p.

Passo 4

Agora usemos o critério sequencial para testar continuidade em um ponto arbitrário p.
  • Considere a sequência racional \{r_n\} construída acima com r_n\in\mathbb{Q} e r_n\to p. Como r_n é sempre racional, temos f(r_n)=1 para todo n. Portanto \displaystyle f(r_n)\to 1.
  • Considere também a sequência irracional \{s_n\} com s_n\notin\mathbb{Q} e s_n\to p. Como s_n é sempre irracional, temos f(s_n)=0 para todo n. Portanto \displaystyle f(s_n)\to 0.
  • Logo, ao aproximar p por racionais os valores de f tendem para 1, enquanto ao aproximar por irracionais os valores tendem para 0.

Passo 5

Conclusão a partir do passo anterior usando o critério sequencial:
  • Se f fosse contínua em p, então qualquer sequência x_n\to p teria f(x_n)\to f(p). Mas vimos duas sequências convergentes a p cuja imagens têm limites distintos ( 1 e 0). Isso é impossível se f(x_n) tiver sempre que convergir para um único valor f(p).
  • Portanto, para esse p não existe convergência única de f(x) ao aproximar x por pontos diferentes, logo f não é contínua em p.
  • Como p foi um ponto arbitrário em \mathbb{R}, a mesma argumentação vale para todo p\in\mathbb{R}.

Passo 6

Resumo didático e intuitivo: perto de qualquer ponto existe sempre um racional e um irracional arbitrariamente próximos; mas f dá valores diferentes nessas classes ( 1 e 0). Assim os valores de f próximos a qualquer p nunca se aglomeram num único número, impedindo a continuidade em qualquer ponto.

Resposta

Não existe p\in\mathbb{R} tal que f seja contínua em p.

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