Defina
por
, se
e
, se
. Existe
tal que
é contínua em
? Se sim, determine-o pelo menos um.
Passo 1
O enunciado define a função
e pergunta se existe
seja contínua em
.
Informações relevantes dadas:
- O valor de
é em todos os números racionais. - O valor de
é em todos os números irracionais. - Precisamos decidir se existe algum ponto
onde é contínua e, se existir, determinar pelo menos um.]
Passo 2
Relembrando a definição prática de continuidade (versão
-
) e uma forma alternativa útil (critérios sequenciais):
- Definição
- : é contínua em se, para todo , existe tal que, sempre que , tem-se .
Explanação rápida: isso diz que valores deficam arbitrariamente próximos de quando está suficientemente próximo de . - Critério sequencial:
é contínua em se, e somente se, para toda sequência que converge para vale .
Explicação: isso é prático porque permite testar continuidade usando sequências que se aproximam de.
Passo 3
Um fato essencial sobre
e
(os irracionais):
- Ambos são densos em
. Isso significa que, para qualquer e qualquer , existem racionais e irracionais dentro do intervalo .
Intuição: não importa o quão pequeno seja o intervalo ao redor de, sempre há racionais e irracionais lá dentro. - Construção explícita de sequências (se quiser ver na prática):
- Pode-se aproximar
por racionais, por exemplo tomando as truncaturas decimais . Então e . - Para obter irracionais aproximando
, pegue . Cada é soma de um racional com um irracional, logo é irracional, e .
- Pode-se aproximar
Passo 4
Agora usemos o critério sequencial para testar continuidade em um ponto arbitrário
.
- Considere a sequência racional
construída acima com e . Como é sempre racional, temos para todo . Portanto . - Considere também a sequência irracional
com e . Como é sempre irracional, temos para todo . Portanto . - Logo, ao aproximar
por racionais os valores de tendem para , enquanto ao aproximar por irracionais os valores tendem para .
Passo 5
Conclusão a partir do passo anterior usando o critério sequencial:
- Se
fosse contínua em , então qualquer sequência teria . Mas vimos duas sequências convergentes a cuja imagens têm limites distintos ( e ). Isso é impossível se tiver sempre que convergir para um único valor . - Portanto, para esse
não existe convergência única de ao aproximar por pontos diferentes, logo não é contínua em . - Como
foi um ponto arbitrário em , a mesma argumentação vale para todo .
Passo 6
Resumo didático e intuitivo: perto de qualquer ponto existe sempre um racional e um irracional arbitrariamente próximos; mas
dá valores diferentes nessas classes (
e
). Assim os valores de
próximos a qualquer
nunca se aglomeram num único número, impedindo a continuidade em qualquer ponto.
Resposta
Não existe
tal que
seja contínua em
.