Calcule, usando a definição, os seguintes limites:
.
Passo 1
O enunciado pede calcular, usando a definição de limite, o valor do seguinte limite:
Informações dadas que vamos usar:
- A função considerada é
, definida para todo . - O que se quer é verificar, pela definição formal de limite quando
tende a , qual é o comportamento de .
Passo 2
Vou escrever a definição formal que precisamos usar (sem pular etapas). Dizemos que
se, e somente se, para todo número real
existe um número real
tal que, sempre que
, então
.
Explicando em palavras simples: escolher qualquer nível
(por exemplo
,
,
, tanto faz). A definição pede que a partir de algum ponto
à esquerda (ou seja, para
suficientemente negativos), os valores de
fiquem abaixo desse nível
. Se for possível fazer isso para todo
, dizemos que
vai para
quando
.
Passo 3
Agora aplico essa definição à função
. Seja um número real arbitrário
. Preciso encontrar um
tal que, se
, então
.
Uma escolha natural e muito simples é tomar
Então, sempre que
(isto é,
), vale imediatamente que
. Não usei nada complicado: escolhi
igual ao nível
, e a implicação required segue direto da desigualdade.
Passo 4
Vimos que a escolha
funciona para qualquer
arbitrário. Isso significa que, para qualquer nível
desejado, existe um ponto
à esquerda tal que todos os
mais à esquerda do que esse ponto produzem
. Portanto, a condição da definição de limite (para o caso de limite igual a
quando
) está satisfeita.
Um exemplo numérico para ficar mais concreto: se
, escolha
. Então para todo
tem-se
, ou seja,
. Isso ilustra o que a definição pede.