Calcule, usando a definição, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} x.

Passo 1

O enunciado pede calcular, usando a definição de limite, o valor do seguinte limite:
\lim_{x\to -\infty} x.
Informações dadas que vamos usar:
  • A função considerada é f(x)=x, definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • O que se quer é verificar, pela definição formal de limite quando x tende a -\infty, qual é o comportamento de f(x).

Passo 2

Vou escrever a definição formal que precisamos usar (sem pular etapas). Dizemos que
\lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty
se, e somente se, para todo número real A existe um número real M tal que, sempre que x<M, então f(x)<A.
Explicando em palavras simples: escolher qualquer nível A (por exemplo -100, -1000, -10^{6}, tanto faz). A definição pede que a partir de algum ponto M à esquerda (ou seja, para x suficientemente negativos), os valores de f(x) fiquem abaixo desse nível A. Se for possível fazer isso para todo A, dizemos que f(x) vai para -\infty quando x\to -\infty.

Passo 3

Agora aplico essa definição à função f(x)=x. Seja um número real arbitrário \,A\in\mathbb{R}\,. Preciso encontrar um M\in\mathbb{R} tal que, se x<M, então f(x)=x<A.
Uma escolha natural e muito simples é tomar
M := A.
Então, sempre que x<M (isto é, x<A), vale imediatamente que f(x)=x<A. Não usei nada complicado: escolhi M igual ao nível A, e a implicação required segue direto da desigualdade.

Passo 4

Vimos que a escolha M=A funciona para qualquer A arbitrário. Isso significa que, para qualquer nível A desejado, existe um ponto M à esquerda tal que todos os x mais à esquerda do que esse ponto produzem f(x)<A. Portanto, a condição da definição de limite (para o caso de limite igual a -\infty quando x\to -\infty) está satisfeita.
Um exemplo numérico para ficar mais concreto: se A=-1000, escolha M=-1000. Então para todo x<-1000 tem-se x<-1000, ou seja, f(x)=x<-1000. Isso ilustra o que a definição pede.

Resposta

-\infty

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