Analise a continuidade das funções abaixo nos seus respectivos domínios.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para analisar a continuidade da função
f(x)=raizx-1x^2-1,&xneqpm1[6pt]raiz22,&x=pm1
A matéria envolvida é continuidade de funções e limites. Vamos usar a definição de continuidade em pontos, limite de função, e simplificar a expressão para achar domínio.
Passo 2
Para xneqpm1 temos
f(x)=raizx-1(x-1)(x+1)=raiz1x+1
Essa simplificação vale pois cancelamos x-1 sob a hipótese xneq1.
Passo 3
O domínio real exige denominador x^2-1neq0 e radicando (x-1)/(x^2-1)>=0. Como simplificamos para 1/(x+1), impomos
x+1>0Rightarrow x>-1,\ncom xneqpm1. Logo o domínio da parte radical é (-1,1)cup(1,infty), e ainda temos definição pontual em x=pm1.
Passo 4
Em cada intervalo aberto do domínio, ou seja (-1,1) e (1,infty), a função xmapsto1/(x+1) é contínua (razão de polinômios) e ymapstoraiz y também. Pela composição, f é contínua em todo (-1,1)cup(1,infty).
Passo 5
Em x=1 calculamos os limites laterais:
limxto1^-f(x)=limxto1^+raiz1x+1=raiz12=1raiz2
Como f(1)=raiz2/2=1/raiz2, o limite coincide com o valor da função, logo é contínua em x=1.
Passo 6
Em x=-1 só faz sentido limite pelo lado direito, pois para x<-1 o radicando é negativo. Temos
limxto-1^+f(x)=limxto-1^+raiz1x+1=+inftyneq f(-1)=raiz22,
portanto há descontinuidade em x=-1.
Resposta
A função é contínua em todo o seu domínio, exceto em x=-1.