Mostre que a solução geral para a equação da onda não-homogênea
ut t=c^2 ux x-g
é
u(x, t)=g2 c^2 x(x-1)+F(x+c t)+G(x-c t)
onde F e G são funções arbitrárias de classe C^2.

Passo 1

Temos a equação da onda não-homogênea utt=c^2uxx-g. O conteúdo envolvido é equação de onda não-homogênea em PDEs de segunda ordem. Para resolver, vamos usar superposição: obter a solução geral da equação homogênea e somar uma solução particular que anule o termo -g.

Passo 2

Considerando primeiro a parte homogênea utt=c^2uxx, aplicamos o método de d’Alembert. Assim, a solução geral homogênea é dada por uh(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct), onde F e G são funções arbitrárias de classe C^2.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular up da equação completa, buscamos uma função que dependa só de x, ou seja, up(x,t)=up(x). Nesse caso up,tt=0 e a equação torna-se
0=c^2up''(x)-g
ou seja
up''(x)=gc^2

Passo 4

Integramos duas vezes para achar up(x):
up'(x)=gc^2x+A, up(x)=g2c^2x^2+Ax+B
Os termos lineares em x (contidos em Ax+B) podem ser absorvidos nas arbitrariedades de F e G. Para simplificar escolhemos A=-g2c^2 e B=0, obtendo
up(x)=g2c^2x(x-1)

Passo 5

Pela superposição, a solução geral da equação não-homogênea é a soma de uh e up. Assim obtemos
u(x,t)=uh(x,t)+up(x)=F(x+ct)+G(x-ct)+g2c^2x(x-1)

Resposta

u(x,t)=g2c^2x(x-1)+F(x+ct)+G(x-ct)

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