Mostre que a solução geral para a equação da onda não-homogênea
é
onde
e
são funções arbitrárias de classe
.
Passo 1
Temos a equação da onda não-homogênea
. O conteúdo envolvido é equação de onda não-homogênea em PDEs de segunda ordem. Para resolver, vamos usar superposição: obter a solução geral da equação homogênea e somar uma solução particular que anule o termo
.
Passo 2
Considerando primeiro a parte homogênea
, aplicamos o método de d’Alembert. Assim, a solução geral homogênea é dada por
, onde
e
são funções arbitrárias de classe
.
Passo 3
Para encontrar uma solução particular
da equação completa, buscamos uma função que dependa só de
, ou seja,
. Nesse caso
e a equação torna-se
ou seja
Passo 4
Integramos duas vezes para achar
:
Os termos lineares em
(contidos em
) podem ser absorvidos nas arbitrariedades de
e
. Para simplificar escolhemos
e
, obtendo
Passo 5
Pela superposição, a solução geral da equação não-homogênea é a soma de
e
. Assim obtemos