Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
(a) lim x +infty 1x^2
(d) lim x +infty(x^4-3 x+2)
(h) lim x -infty x^4-2 x+33 x^4+7 x-1
(b) lim x -infty(5+1x+3x^2)
(e) lim x +infty(5-4 x+x^2-x^5)
(f) lim x +infty 5 x^3-6 x+16 x^2+x+3
(i) lim x infty raizx^2+1-raizx^2+x
© lim x -infty x^2-2 x+33 x^2+x+1
(g) lim x +infty 5 x^3-6 x+16 x^3+2
(j) lim x infty x-sen xx+sen x.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede uma série de limites quando x vai para ±∞, envolvendo funções do tipo polinômio, racional, radical e até trigonométrica. O conteúdo aqui é comportamento assintótico: para polinômios, quem manda é o maior grau; para racionais, a gente compara os graus de numerador e denominador; e também vamos usar o truque do conjugado em diferença de raízes e o fato de que sen x é limitado entre –1 e 1.

Passo 2

Para (a)
Usamos que se a função é f(x)=1/x² e x→+∞, o denominador cresce sem fim. Quando o grau no denominador é maior que no numerador, o limite é zero.
limxto+infty 1x^2 = 0

Passo 3

Para (b)
Aqui temos f(x)=5 + 1/x + 3/x² e x→−∞. Como 1/x e 3/x² tendem a zero (denominadores crescem em módulo), sobra o termo constante.
limxto-inftyl(5 + 1x + 3x^2r) = 5

Passo 4

Para (d)
A função é um polinômio x⁴ − 3x + 2 e x→+∞. O termo dominante é x⁴ (maior grau, coeficiente positivo), então o polinômio vai a +∞.
limxto+infty(x^4-3x+2) = +infty

Passo 5

Para (e)
Outro polinômio 5 − 4x + x² − x⁵ com x→+∞. Aqui o grau 5 domina e o coeficiente é −1, logo o valor vai a −∞.
limxto+infty(5 - 4x + x^2 - x^5) = -infty

Passo 6

Para © e (h)
São funções racionais onde numerador e denominador têm mesmo grau. A regra é que o limite é a razão dos coeficientes dos maiores graus.
Em ©, f(x)=(x² − 2x +3)/(3x² + x +1) e x→−∞. O quociente dos líderes é 1/3, independente do sinal do x no infinito.
limxto-inftyx^2-2x+33x^2+x+1 = 13
Em (h), f(x)=(x⁴ −2x+3)/(3x⁴ +7x −1) e x→−∞. Igual, razão 1/3.
limxto-inftyx^4-2x+33x^4+7x-1 = 13

Passo 7

Para (f)
Temos (5x³ −6x +1)/(6x² + x +3) e x→+∞. O grau do numerador (3) é maior que do denominador (2), então o quociente cresce sem limite, vai a +∞.
limxto+infty5x^3-6x+16x^2+x+3 = +infty

Passo 8

Para (g)
Função racional 5x³ −6x +1 sobre 6x³ +2 com mesmo grau 3. Limite é coeficiente líder numerador sobre denominador: 5/6.
limxto+infty5x^3-6x+16x^3+2 = 56

Passo 9

Para (i)
Aqui é raizx^2+1-raizx^2+x. Use o conjugado para não ficar na forma ∞−∞:
raizx^2+1-raizx^2+x = (x^2+1)-(x^2+x)raizx^2+1+raizx^2+x = 1-xraizx^2+1+raizx^2+x
Para x→+∞, o numerador ~−x e o denominador ~2x, daí o limite é −1/2.
limxtoinfty(raizx^2+1-raizx^2+x) = -tfrac12

Passo 10

Para (j)
Temos (x−sen x)/(x+sen x) e x→∞. Como sen x está sempre entre −1 e 1, em comparação com x (que cresce), esse termo vira insignificante, o limite é 1.
limxtoinftyx-sin xx+sin x = 1

Resposta

(a) 0; (b) 5; © 1/3; (d) +∞; (e) −∞; (f) +∞; (g) 5/6; (h) 1/3; (i) −1/2; (j) 1

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