Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
(a)
(d)
(h)
(b)
(e)
(f)
(i)
©
(g)
(j)
.
(a)
(d)
(h)
(b)
(e)
(f)
(i)
©
(g)
(j)
Passo 1
Beleza, o enunciado pede uma série de limites quando x vai para ±∞, envolvendo funções do tipo polinômio, racional, radical e até trigonométrica. O conteúdo aqui é comportamento assintótico: para polinômios, quem manda é o maior grau; para racionais, a gente compara os graus de numerador e denominador; e também vamos usar o truque do conjugado em diferença de raízes e o fato de que sen x é limitado entre –1 e 1.
Passo 2
Para (a)
Usamos que se a função é f(x)=1/x² e x→+∞, o denominador cresce sem fim. Quando o grau no denominador é maior que no numerador, o limite é zero.
Usamos que se a função é f(x)=1/x² e x→+∞, o denominador cresce sem fim. Quando o grau no denominador é maior que no numerador, o limite é zero.
Passo 3
Para (b)
Aqui temos f(x)=5 + 1/x + 3/x² e x→−∞. Como 1/x e 3/x² tendem a zero (denominadores crescem em módulo), sobra o termo constante.
Aqui temos f(x)=5 + 1/x + 3/x² e x→−∞. Como 1/x e 3/x² tendem a zero (denominadores crescem em módulo), sobra o termo constante.
Passo 4
Para (d)
A função é um polinômio x⁴ − 3x + 2 e x→+∞. O termo dominante é x⁴ (maior grau, coeficiente positivo), então o polinômio vai a +∞.
A função é um polinômio x⁴ − 3x + 2 e x→+∞. O termo dominante é x⁴ (maior grau, coeficiente positivo), então o polinômio vai a +∞.
Passo 5
Para (e)
Outro polinômio 5 − 4x + x² − x⁵ com x→+∞. Aqui o grau 5 domina e o coeficiente é −1, logo o valor vai a −∞.
Outro polinômio 5 − 4x + x² − x⁵ com x→+∞. Aqui o grau 5 domina e o coeficiente é −1, logo o valor vai a −∞.
Passo 6
Para © e (h)
São funções racionais onde numerador e denominador têm mesmo grau. A regra é que o limite é a razão dos coeficientes dos maiores graus.
São funções racionais onde numerador e denominador têm mesmo grau. A regra é que o limite é a razão dos coeficientes dos maiores graus.
Em ©, f(x)=(x² − 2x +3)/(3x² + x +1) e x→−∞. O quociente dos líderes é 1/3, independente do sinal do x no infinito.
Em (h), f(x)=(x⁴ −2x+3)/(3x⁴ +7x −1) e x→−∞. Igual, razão 1/3.
Passo 7
Para (f)
Temos (5x³ −6x +1)/(6x² + x +3) e x→+∞. O grau do numerador (3) é maior que do denominador (2), então o quociente cresce sem limite, vai a +∞.
Temos (5x³ −6x +1)/(6x² + x +3) e x→+∞. O grau do numerador (3) é maior que do denominador (2), então o quociente cresce sem limite, vai a +∞.
Passo 8
Para (g)
Função racional 5x³ −6x +1 sobre 6x³ +2 com mesmo grau 3. Limite é coeficiente líder numerador sobre denominador: 5/6.
Função racional 5x³ −6x +1 sobre 6x³ +2 com mesmo grau 3. Limite é coeficiente líder numerador sobre denominador: 5/6.
Passo 9
Para (i)
Aqui é . Use o conjugado para não ficar na forma ∞−∞:
Aqui é
Para x→+∞, o numerador ~−x e o denominador ~2x, daí o limite é −1/2.
Passo 10
Para (j)
Temos (x−sen x)/(x+sen x) e x→∞. Como sen x está sempre entre −1 e 1, em comparação com x (que cresce), esse termo vira insignificante, o limite é 1.
Temos (x−sen x)/(x+sen x) e x→∞. Como sen x está sempre entre −1 e 1, em comparação com x (que cresce), esse termo vira insignificante, o limite é 1.
Resposta
(a) 0; (b) 5; © 1/3; (d) +∞; (e) −∞; (f) +∞; (g) 5/6; (h) 1/3; (i) −1/2; (j) 1