Resolva as equações diferenciais a seguir
Passo 1
Estamos lidando com uma equação diferencial que envolve funções trigonométricas e derivadas. O conteúdo necessário inclui equações diferenciais de primeira ordem e a técnica de separação de variáveis. Vamos usar essas ferramentas para resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar $ y’ $:
Subtraindo $ 2x \sin(3y) $ de ambos os lados:
Agora, dividindo ambos os lados por $ 3x^{2} \cos(3y) $:
Passo 3
Simplificamos a expressão de $ y’ $:
Lembrando que $ \frac{\sin(3y)}{\cos(3y)} = \tan(3y) $, temos:
Passo 4
Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Reescrevemos a equação como:
Multiplicando ambos os lados por $ \frac{1}{\tan(3y)} $ e por $ dx $:
Lembrando que $ \frac{1}{\tan(3y)} = \cot(3y) $:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados:
Sabemos que $ \int \cot(u) , du = \ln|\sin(u)| + C $, então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: