Resolva as equações diferenciais a seguir
2 x sen(3 y)+3 x^2 cos (3 y) y^prime=0

Passo 1

Estamos lidando com uma equação diferencial que envolve funções trigonométricas e derivadas. O conteúdo necessário inclui equações diferenciais de primeira ordem e a técnica de separação de variáveis. Vamos usar essas ferramentas para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar $ y’ $:
y'
Subtraindo $ 2x \sin(3y) $ de ambos os lados:
2x sin(3y) + 3x^2 cos(3y) y' = 0
Agora, dividindo ambos os lados por $ 3x^{2} \cos(3y) $:
2x sin(3y)

Passo 3

Simplificamos a expressão de $ y’ $:
y'
Lembrando que $ \frac{\sin(3y)}{\cos(3y)} = \tan(3y) $, temos:
y' = -2 sin(3y)3x cos(3y)

Passo 4

Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Reescrevemos a equação como:
y
Multiplicando ambos os lados por $ \frac{1}{\tan(3y)} $ e por $ dx $:
x
Lembrando que $ \frac{1}{\tan(3y)} = \cot(3y) $:
dydx = -23x tan(3y)

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados:
integral cot(3y) , dy = integral -23x , dx
Sabemos que $ \int \cot(u) , du = \ln|\sin(u)| + C $, então:
integral cot(u) , du = ln|sin(u)| + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
sin(3y) cdot x^2 = C

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