Analise a continuidade da seguinte função no ponto ( 0,0 ). Caso ela não seja contínua, diga qual condição da definição falha.
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y^{3}}{x^{2}+y^{6}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x y^{3}}{x^{2}+y^{6}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
O que é pedido: analisar a continuidade de f no ponto (0,0). Ou seja, verificar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
existe e, caso exista, se é igual a f(0,0)=0.
Passo seguinte: vou usar a definição de continuidade e estratégias usuais para limites em \mathbb{R}^2 (testes por caminhos e escolha de caminhos que equilibrem os termos do numerador e do denominador).]

Passo 2

Definição relevante (explicada de forma simples):
  • A função f é contínua em (0,0) se e somente se \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe e é igual a f(0,0).
  • Uma maneira prática de mostrar que o limite não existe é encontrar duas trajetórias (caminhos) que tendem a (0,0) e dêem limites diferentes para f. Se isso acontecer, o limite geral não existe.
Comentário didático sobre escolha de caminhos:
  • Quando há potências diferentes de x e y no denominador e numerador, uma boa estratégia é escolher caminhos que façam os dois termos do denominador terem a mesma ordem em y (ou em uma variável de aproximação), assim os fatores em potência se cancelam e fica fácil ver dependência de parâmetro. Aqui o denominador é x^{2}+y^{6} e o numerador contém x y^{3}. Então tentar uma relação do tipo x = a\,y^{3} é natural, porque então x^{2} e y^{6} ficam da mesma ordem em y.

Passo 3

Teste simples: caminho y=0.
  • Se y=0 e x\to 0, então para (x,y)\neq(0,0) temos
f(x,0)=\frac{x\cdot 0^{3}}{x^{2}+0^{6}}=0.
  • Portanto, ao longo do caminho y=0, tem-se
\lim_{x\to 0} f(x,0)=0.
Isto dá um possível valor limite igual a 0 ao aproximar por essa reta, compatível com f(0,0)=0, mas não prova continuidade por si só.

Passo 4

Teste mais geral e decisivo: caminho x = a\,y^{3}, com a constante (real), e y\to 0.
  • Substituindo x=a\,y^{3} em f (para y\neq0):
f(a y^{3},y)=\frac{(a y^{3})\,y^{3}}{(a y^{3})^{2}+y^{6}} = \frac{a\,y^{6}}{a^{2}y^{6}+y^{6}}.
  • Fatorando y^{6} no numerador e denominador (observe que y\neq0 durante a aproximação):
f(a y^{3},y)=\frac{a\,y^{6}}{(a^{2}+1)\,y^{6}}=\frac{a}{a^{2}+1}.
  • Esse valor não depende de y (desde que y\neq0), portanto ao levar y\to0 ao longo da curva x=a y^{3} obtemos o limite
\lim_{y\to 0} f(a y^{3},y)=\frac{a}{a^{2}+1}.

Passo 5

Interpretação do resultado do Passo 4:
  • O valor limite ao longo da família de caminhos x=a y^{3} depende de a. Por exemplo:
    • Para a=0 (que é o caminho x=0), obtemos \dfrac{0}{0^{2}+1}=0 — coincide com o teste do Passo 3.
    • Para a=1 (caminho x=y^{3}), obtemos \dfrac{1}{1^{2}+1}=\dfrac{1}{2}.
    • Para a=-1, obtemos \dfrac{-1}{(-1)^{2}+1}=-\dfrac{1}{2}.
  • Como existem caminhos que dão limites diferentes (por exemplo 0 e 1/2), o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não é único; portanto ele não existe.

Passo 6

Conclusão final baseada na definição de continuidade:
  • A continuidade em (0,0) exigiria que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existisse e fosse igual a f(0,0)=0.
  • Como o limite não existe (há dependência do caminho), essa condição falha.
  • Logo, f não é contínua em (0,0).

Resposta

Não é contínua em (0,0). A condição que falha é que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe (portanto não é igual a 0).

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