O que é pedido: analisar a continuidade de f no ponto (0,0). Ou seja, verificar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
existe e, caso exista, se é igual a f(0,0)=0.
Passo seguinte: vou usar a definição de continuidade e estratégias usuais para limites em \mathbb{R}^2 (testes por caminhos e escolha de caminhos que equilibrem os termos do numerador e do denominador).]
Passo 2
Definição relevante (explicada de forma simples):
A função f é contínua em (0,0) se e somente se \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe e é igual a f(0,0).
Uma maneira prática de mostrar que o limite não existe é encontrar duas trajetórias (caminhos) que tendem a (0,0) e dêem limites diferentes para f. Se isso acontecer, o limite geral não existe.
Comentário didático sobre escolha de caminhos:
Quando há potências diferentes de x e y no denominador e numerador, uma boa estratégia é escolher caminhos que façam os dois termos do denominador terem a mesma ordem em y (ou em uma variável de aproximação), assim os fatores em potência se cancelam e fica fácil ver dependência de parâmetro. Aqui o denominador é x^{2}+y^{6} e o numerador contém x y^{3}. Então tentar uma relação do tipo x = a\,y^{3} é natural, porque então x^{2} e y^{6} ficam da mesma ordem em y.
Passo 3
Teste simples: caminho y=0.
Se y=0 e x\to 0, então para (x,y)\neq(0,0) temos
f(x,0)=\frac{x\cdot 0^{3}}{x^{2}+0^{6}}=0.
Portanto, ao longo do caminho y=0, tem-se
\lim_{x\to 0} f(x,0)=0.
Isto dá um possível valor limite igual a 0 ao aproximar por essa reta, compatível com f(0,0)=0, mas não prova continuidade por si só.
Passo 4
Teste mais geral e decisivo: caminho x = a\,y^{3}, com a constante (real), e y\to 0.