Verifique se a função f(x, y) é contínua no ponto dado (a, b). Justifique sua resposta usando a definição de continuidade. f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}-1\right) no ponto ( 1,1 ).
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função f(x,y)=\ln\!\big(x^{2}+y^{2}-1\big) é contínua no ponto (1,1). Informações dadas e observações iniciais úteis:
A função é f(x,y)=\ln\!\big(x^{2}+y^{2}-1\big).
O ponto de verificação é (a,b)=(1,1).
Para usar a definição de continuidade precisamos mostrar que \lim_{(x,y)\to(1,1)} f(x,y) existe e é igual a f(1,1).
Note que a função \ln(t) só está definida para t>0. Então é necessário garantir que, numa vizinhança de (1,1), o argumento x^{2}+y^{2}-1 seja positivo (ou seja, que os pontos considerados estejam no domínio de f).
Passo 2
Calcular o valor de f no ponto e avaliar o argumento do logaritmo:
Primeiro calcule o argumento em (1,1):
1^{2}+1^{2}-1 = 1.
Portanto
f(1,1)=\ln(1)=0.
Conclusão parcial: f(1,1) está bem definida e vale 0. Agora precisamos mostrar que \lim_{(x,y)\to(1,1)} \ln\!\big(x^{2}+y^{2}-1\big)=0.
Passo 3
Estratégia usando definição \varepsilon-\delta: vou mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que \sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}<\delta, então
Para simplificar a conta posso usar um número maior e conveniente: |x+1|\le 3 e |y+1|\le 3 (essa margem é segura se |x-1|<\tfrac{1}{2} e |y-1|<\tfrac{1}{2}). Assim
Usando a desigualdade |x-1|+|y-1| \le \sqrt{2}\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}} obtemos, para \rho=\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}},
|h(x,y)-1| \le 3\sqrt{2}\,\rho.
Passo 5
Controle do logaritmo pela estimativa anterior. Tome um \varepsilon>0 arbitrário. Vou escolher \delta>0 de modo a garantir duas coisas:
\rho<\delta implique |h(x,y)-1|<\tfrac{1}{2}. Isso garante h(x,y)>\tfrac{1}{2}>0, isto é, estamos no domínio de \ln.
Com h(x,y) em [\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}] eu posso usar uma cota para o crescimento de \ln. De fato, para t\in[\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}] tem-se \left|\dfrac{d}{dt}\ln t\right|=\dfrac{1}{t}\le 2. Portanto, no intervalo citado, \ln é Lipschitz com constante 2, ou seja
Além disso \delta\le\tfrac{1}{2} garante |h(x,y)-1|<\tfrac{1}{2}, logo h(x,y)\in\big(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\big). Aplicando a desigualdade Lipschitz de \ln obtemos
Além disso verificamos que, numa vizinhança de (1,1), o argumento do logaritmo permanece positivo, portanto f está bem definida perto do ponto. Assim f é contínua em (1,1).