Encontre o valor da constante
que torna a função
contínua em todo o plano
.
Passo 1
O enunciado pede que se encontre o(s) valor(es) da constante
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é definida por duas expressões diferentes dependendo do valor de
, ou seja, em todos os pontos
.]
Passo 2
Primeiro, lembrar (de forma simples) o que significa ser contínuo em dois variáveis num ponto. Uma função
é contínua em um ponto
se
Para funções definidas por partes, geralmente os possíveis problemas de continuidade ocorrem apenas na fronteira entre as regiões onde as fórmulas mudam. Se cada fórmula é uma função contínua na sua região aberta, então não há problema dentro das regiões — só precisamos checar a fronteira.
Passo 3
Aplicando a ideia ao nosso caso:
- As duas expressões
e são polinômios em (para qualquer fixo), e polinômios são contínuos em toda parte. Logo, é contínua em todos os pontos com e em todos os pontos com . - A única linha onde pode haver descontinuidade é a fronteira
. Então basta garantir continuidade para todos os pontos da forma , com .
Passo 4
Para
a função está definida pela regra do caso
. Portanto o valor da função no ponto é
A condição de continuidade em
exige que o limite vindo pela esquerda em
(isto é,
) coincida com esse valor. O limite vindo da região
é obtido substituindo
na segunda expressão:
Igualando os dois (e observando que isso deve valer para todo
) temos
Podemos cancelar o termo
dos dois lados, obtendo uma equação apenas em
:
Rearranjando,
Essa é uma quadrática que fatoriza:
Portanto as soluções são
Passo 5
Verificação final e observação prática: para
e para
a igualdade entre o valor no ponto
e o limite lateral à esquerda vale para todo
, e, como já dito, dentro das regiões
e
as expressões são contínuas. Logo, qualquer um desses dois valores de
garante que
seja contínua em todo
.