Encontre o valor da constante c que torna a função f(x, y) contínua em todo o plano \mathbb{R}^{2}.
f(x, y)= \begin{cases}c^{2}+x-y, & x \geq 2 \\ c-y+2 x, & x<2\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede que se encontre o(s) valor(es) da constante c\) que tornam a função \(f(x,y)\) contínua em todo o plano \(\mathbb{R}^2\). A função dada é \[f(x,y)= \begin{cases} c^{2}+x-y, & x\ge 2,\\[4pt] c-y+2x, & x<2. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é definida por duas expressões diferentes dependendo do valor de x\]. - Queremos continuidade em todo \(\mathbb{R}^2, ou seja, em todos os pontos (x,y).]

Passo 2

Primeiro, lembrar (de forma simples) o que significa ser contínuo em dois variáveis num ponto. Uma função g(x,y) é contínua em um ponto (a,b) se
\lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y)=g(a,b).
Para funções definidas por partes, geralmente os possíveis problemas de continuidade ocorrem apenas na fronteira entre as regiões onde as fórmulas mudam. Se cada fórmula é uma função contínua na sua região aberta, então não há problema dentro das regiões — só precisamos checar a fronteira.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso caso:
  • As duas expressões c^{2}+x-y e c-y+2x são polinômios em x,y (para qualquer c fixo), e polinômios são contínuos em toda parte. Logo, f é contínua em todos os pontos com x>2 e em todos os pontos com x<2.
  • A única linha onde pode haver descontinuidade é a fronteira x=2. Então basta garantir continuidade para todos os pontos da forma (2,y), com y\in\mathbb{R}.

Passo 4

Para (2,y) a função está definida pela regra do caso x\ge 2. Portanto o valor da função no ponto é
f(2,y)=c^{2}+2-y.
A condição de continuidade em (2,y) exige que o limite vindo pela esquerda em x (isto é, x\to2^{-}) coincida com esse valor. O limite vindo da região x<2 é obtido substituindo x\to 2 na segunda expressão:
\lim_{x\to2^-} f(x,y)=c-y+2\cdot 2 = c-y+4.
Igualando os dois (e observando que isso deve valer para todo y) temos
c^{2}+2-y = c-y+4.
Podemos cancelar o termo -y dos dois lados, obtendo uma equação apenas em c:
c^{2}+2 = c+4.
Rearranjando,
c^{2}-c-2=0.
Essa é uma quadrática que fatoriza:
(c-2)(c+1)=0.
Portanto as soluções são
c=2 \quad\text{ou}\quad c=-1.

Passo 5

Verificação final e observação prática: para c=2 e para c=-1 a igualdade entre o valor no ponto (2,y) e o limite lateral à esquerda vale para todo y, e, como já dito, dentro das regiões x>2 e x<2 as expressões são contínuas. Logo, qualquer um desses dois valores de c garante que f seja contínua em todo \mathbb{R}^2.

Resposta

c=2
c=-1

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