Verifique se a função f(x, y) é contínua no ponto dado (a, b). Justifique sua resposta usando a definição de continuidade.
f(x, y)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}} no ponto ( 2,0 ).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede: verificar se a função f(x,y) é contínua no ponto (2,0) e justificar usando a definição de continuidade.
  • Dá a função f(x,y)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}.
  • Dá o ponto onde queremos verificar a continuidade: (a,b)=(2,0).
  • Observação importante que vem do enunciado: a expressão dentro da raiz precisa ser não negativa, ou seja 4-x^2-y^2\ge 0. Logo o domínio natural de f é o disco fechado \{(x,y)\mid x^2+y^2\le 4\}. O ponto (2,0) pertence a esse domínio (pois 2^2+0^2=4).

Passo 2

Definição de continuidade que vou usar (explicada passo a passo):
  • Dizemos que f é contínua em (2,0) se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, para todo (x,y) do domínio de f com
\sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}<\delta,
temos
\bigl|f(x,y)-f(2,0)\bigr|<\varepsilon.
  • Aqui \varepsilon representa o quanto permitimos que o valor de f(x,y) difira do valor em (2,0); \delta é o raio da vizinhança ao redor de (2,0) que garante essa diferença pequena.
  • Vou seguir exatamente esse formato: dado \varepsilon>0 construirei um \delta>0 que funcione.

Passo 3

Calcular o valor da função no ponto:
  • Primeiro avaliamos f em (2,0):
f(2,0)=\sqrt{4-2^2-0^2}=\sqrt{4-4}=0.
  • Portanto a condição que queremos provar, pela definição, é: dado \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, para todo (x,y) no domínio com \sqrt{(x-2)^2+y^2}<\delta, valha
\bigl|\sqrt{4-x^2-y^2}-0\bigr|<\varepsilon,
ou seja
\sqrt{4-x^2-y^2}<\varepsilon.

Passo 4

Estratégia da prova (intuição antes das contas):
  • Como a raiz quadrada produz números não negativos, a desigualdade acima equivale a
4-x^2-y^2<\varepsilon^2.
  • Logo precisamos controlar |x^2+y^2-4| por algo menor que \varepsilon^2 quando (x,y) estiver perto de (2,0).
  • Usarei uma estimativa elementar que liga |x^2+y^2-4| com a distância \sqrt{(x-2)^2+y^2}, e a partir daí escolherei um \delta explícito em função de \varepsilon.

Passo 5

Desenvolvendo a desigualdade e obtendo uma escolha de \delta:
  • Começo escrevendo
|x^2+y^2-4| = |(x^2-4) + y^2| \le |x^2-4| + y^2.
  • Observe que
|x^2-4| = |x-2||x+2|.
  • Se garantirmos que |x-2|<1 (ou seja, se escolhermos \delta\le 1), então x\in(1,3) e portanto |x+2|\le 5. Assim, sob a hipótese \sqrt{(x-2)^2+y^2}<\delta\le 1 obtemos
|x^2-4| \le 5|x-2|.
  • Além disso y^2\le (\sqrt{(x-2)^2+y^2})^2= distância ^2 <\delta^2.
  • Reunindo,
|x^2+y^2-4| \le 5|x-2| + y^2 \le 5\delta + \delta^2.
  • Queremos que 5\delta+\delta^2 \le \varepsilon^2. Uma escolha simples e segura é
\delta = \min\!\left(1,\;\frac{\varepsilon^2}{6}\right).
  • Verificação rápida dessa escolha:
    • Se \delta\le 1 então \delta^2\le \delta, logo 5\delta+\delta^2\le 5\delta+\delta =6\delta.
    • Como \delta\le \varepsilon^2/6 temos 6\delta\le \varepsilon^2. Portanto 5\delta+\delta^2\le \varepsilon^2.
    • Logo com essa escolha de \delta vale
    |x^2+y^2-4| \le 5\delta+\delta^2 \le \varepsilon^2.

Passo 6

Concluir a desigualdade desejada e completar o argumento \varepsilon- \delta:
  • Com \delta escolhido como acima, para todo (x,y) do domínio com \sqrt{(x-2)^2+y^2}<\delta temos
0 \le 4-x^2-y^2 = |x^2+y^2-4| \le \varepsilon^2.
  • Assim
0 \le \sqrt{4-x^2-y^2} \le \sqrt{\varepsilon^2}=\varepsilon,
ou seja
\bigl|f(x,y)-f(2,0)\bigr| = \bigl|\sqrt{4-x^2-y^2}-0\bigr| < \varepsilon.
  • Isso prova exatamente que, dado qualquer \varepsilon>0, existe \delta>0 (a escolha acima) tal que sempre que (x,y) do domínio satisfizer \sqrt{(x-2)^2+y^2}<\delta então |f(x,y)-f(2,0)|<\varepsilon. Logo \lim_{(x,y)\to(2,0)} f(x,y)=f(2,0).

Passo 7

Comentário final (intuição e alternativa):
  • Intuitivamente: a função é a composição de g(x,y)=4-x^2-y^2 (polinomial, portanto contínua) com \varphi(t)=\sqrt{t} (contínua em t\ge 0), e \varphi é contínua também em t=0. Portanto a composição é contínua em (2,0). A prova \varepsilon- \delta acima dá a justificativa formal usando a definição.

Resposta

Sim. A função f(x,y)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}} é contínua no ponto (2,0).

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