Analise a continuidade da seguinte função no ponto (0,0).
clx^2x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=x^2x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
é contínua no ponto (0,0). O conteúdo envolve definição de limite e continuidade de funções de várias variáveis.

Passo 2

Para a função ser contínua em (0,0) precisamos que o limite
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
exista e seja igual a f(0,0)=0.

Passo 3

Vamos avaliar o limite ao longo do eixo y=0. Substituindo y=0 temos
f(x,0)=x^2x^2+0^2=1
Logo
limxto0f(x,0)=1

Passo 4

Agora avaliaremos o limite ao longo do eixo x=0. Substituindo x=0 temos
f(0,y)=0^20^2+y^2=0
Logo
limyto0f(0,y)=0

Passo 5

Como encontramos dois caminhos com limites diferentes (um dando 1 e outro 0), o limite geral não existe. Portanto não pode coincidir com f(0,0)=0.

Resposta

A função não é contínua em (0,0).

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