Questão 4. Em cada ponto de
determine
para a função
Passo 1
O enunciado dá uma função de duas variáveis definida por uma integral com limites que dependem de
:
Temos
Temos
com
$$
a(x,y)=\sin\bigl(y2-\cos(x2))\quade\quad b(x,y)=\cos\bigl(x2-y+\sin(y2)\bigr)$$.
O conteúdo aqui é o teorema de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis.
O conteúdo aqui é o teorema de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis.
Passo 2
O teorema de Leibniz para funções de duas variáveis diz que, se
$$
f(x,y)=\int_{a(x,y)}^{b(x,y)}g(t),dt,
\frac{\partial f}{\partial x}=g\bigl(b(x,y)\bigr)\frac{\partial b}{\partial x}-g\bigl(a(x,y)\bigr)\frac{\partial a}{\partial x},
$$
Aqui vale lembrar que
.
Passo 3
Agora vamos calcular as derivadas parciais de
).
Usando a regra da cadeia:
Usando a regra da cadeia:
Passo 4
Em seguida, derivamos
em relação a
e
:
Passo 5
Por fim, aplicamos o teorema de Leibniz para montar as componentes do gradiente. Lembrando que
, temos:
Passo 6
Juntando as duas componentes, o gradiente é