Questão 4. Em cada ponto de R^2 determine nabla f(x, y) para a função
f(x, y)=integralsin (y^2-cos (x^2))^cos (x^2-y+sin (y^2)) e^|t| d t

Passo 1

O enunciado dá uma função de duas variáveis definida por uma integral com limites que dependem de (x,y):
Temos
f(x,y)=integrala(x,y)^b(x,y)e^|t|,dt
com
$$
a(x,y)=\sin\bigl(y2-\cos(x2))\quade\quad b(x,y)=\cos\bigl(x2-y+\sin(y2)\bigr)$$.
O conteúdo aqui é o teorema de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis.

Passo 2

O teorema de Leibniz para funções de duas variáveis diz que, se
$$
f(x,y)=\int_{a(x,y)}^{b(x,y)}g(t),dt, f(x,y)=integrala(x,y)^b(x,y)g(t),dt,ã
\frac{\partial f}{\partial x}=g\bigl(b(x,y)\bigr)\frac{\partial b}{\partial x}-g\bigl(a(x,y)\bigr)\frac{\partial a}{\partial x},
$$
partial fpartial x=gl(b(x,y)r)partial bpartial x-gl(a(x,y)r)partial apartial x,
Aqui vale lembrar que partial fpartial y=gl(b(x,y)r)partial bpartial y-gl(a(x,y)r)partial apartial y .

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas parciais de a(x,y)=sinl(y^2-cos(x^2)).
Usando a regra da cadeia:
partial apartial x=cosl(y^2-cos(x^2)r)cdotddxl(y^2-cos(x^2)r) =cosl(y^2-cos(x^2)r)cdotl(2xsin(x^2)r),
partial apartial y=cosl(y^2-cos(x^2)r)cdotddyl(y^2-cos(x^2)r) =cosl(y^2-cos(x^2)r)cdot(2y)

Passo 4

Em seguida, derivamos b(x,y)=cosl(x^2-y+sin(y^2)r) em relação a x e y:
partial bpartial x=-sinl(x^2-y+sin(y^2)r)cdotddxl(x^2-y+sin(y^2)r) =-2xsinl(x^2-y+sin(y^2)r),
partial bpartial y=-sinl(x^2-y+sin(y^2)r)cdotddyl(x^2-y+sin(y^2)r) =-sinl(x^2-y+sin(y^2)r)l(-1+2ycos(y^2)r) =sinl(x^2-y+sin(y^2)r)l(1-2ycos(y^2)r)

Passo 5

Por fim, aplicamos o teorema de Leibniz para montar as componentes do gradiente. Lembrando que g(t)=e^|t|, temos:
partial fpartial x=e^l|b(x,y)r|,l(-2xsin(x^2-y+sin(y^2))r) - e^l|a(x,y)r|,l(2xsin(x^2)cos(y^2-cos(x^2))r),
partial fpartial y=e^l|b(x,y)r|,l(sin(x^2-y+sin(y^2)),(1-2ycos(y^2))r) - e^l|a(x,y)r|,l(2ycos(y^2-cos(x^2))r)

Passo 6

Juntando as duas componentes, o gradiente é
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,partial fpartial yr)

Resposta

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