Analise a continuidade das seguintes funções e classifique os pontos de descontinuidade, se necessário:

Passo 1

Temos a função f dada por:
f(x)= |x|x, & xneq0; 0, & x=0
O conteúdo aqui é continuidade de funções definidas por partes. Para resolver, vamos usar a definição de continuidade (limite igual ao valor da função) e calcular limites laterais quando necessário.

Passo 2

Para x>0, temos |x|=x, logo
f(x)=|x|x=xx=1
Como em qualquer ponto a>0 a função é constante igual a 1, vale limxto af(x)=1=f(a). Logo, f é contínua em todo (0,infty).

Passo 3

Para x<0, temos |x|=-x, logo
f(x)=|x|x=-xx=-1
De modo análogo, em qualquer ponto a<0 a função é constante igual a -1, logo limxto af(x)=-1=f(a). Portanto, f é contínua em todo .

Passo 4

No ponto x=0, calculamos os limites laterais:
limxto0^-f(x)=-1,
limxto0^+f(x)=1
Como -1neq1, o limite limxto0f(x) não existe e, consequentemente, f não é contínua em x=0 (ainda que f(0)=0).

Passo 5

Os limites laterais em x=0 existem e são finitos, mas não coincidem. Portanto, em x=0 há uma descontinuidade do tipo salto (discontinuidade de primeira espécie).

Resposta

A função é contínua para todo xneq0 e possui uma descontinuidade de salto em x=0.

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