Analise a continuidade das seguintes funções e classifique os pontos de descontinuidade, se necessário:
f(x)=xsin x;

Passo 1

O enunciado pede pra gente analisar onde a função f(x)=dfracxsin x é contínua e classificar os pontos de descontinuidade. O conteúdo é continuidade de função e tipos de descontinuação (removível, infinita, etc.). Vamos precisar do domínio da função, identificar onde sin x=0 e usar limites para ver o comportamento nesses pontos.

Passo 2

Para achar o domínio, resolvemos sin x=0. Sabemos que sin x=0 para x=kpi, com kinZ. Logo o domínio é
Rsetminuskpi:,kinZ
Nesses pontos x=kpi, a função não está definida, portanto são candidatos a descontinuidade.

Passo 3

Primeiro, em x=0: calculemos
limxto0xsin x
Usando o limite fundamental limxto0dfracsin xx=1, vemos que
limxto0xsin x=1
Como f(0) não está definida mas o limite existe e é finito, temos uma descontinuidade removível em x=0.

Passo 4

Agora, para x=kpi com kneq0: numerador tende a kpineq0 e denominador sin xto0. Assim
limxto kpixsin x=pminfty,
ou seja, a função cresce sem limite (vertical). Logo em cada x=kpi, kneq0, a descontinuidade é do tipo infinita (assimptota vertical).

Resposta

A função é contínua em todo o domínio Rsetminuskpi:kinZ. Os pontos de descontinuidade são:
– Em x=0: descontinuidade removível (limite finito igual a 1).
– Em x=kpi,,kneq0: descontinuidade infinita (limite pminfty).

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