Analise a continuidade das seguintes funções:
f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\left|x^{2}-5 x+6\right|}{x^{2}-5 x+6}, \text { se } x>2 \\\\ 1, \text { se } x=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a continuidade da função
f(x)=\begin{cases} \dfrac{\left|x^{2}-5x+6\right|}{x^{2}-5x+6}, & \text{se } x>2,\\[6pt] 1, & \text{se } x=2. \end{cases}
Informações dadas:
  • A expressão para x>2 envolve a razão \dfrac{\left|x^{2}-5x+6\right|}{x^{2}-5x+6}.
  • Está definido explicitamente f(2)=1.
  • Não há definição para x<2 no enunciado.
    As perguntas implícitas que vamos responder: em quais pontos a função é contínua e em quais pontos é descontínua (analisar todo o conjunto onde a função está definida).]

Passo 2

Vamos estudar a expressão que aparece no numerador/denominador. Factorizei o polinômio do denominador:
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
Essas raízes indicam que o denominador se anula em x=2 e em x=3.

Passo 3

Observação sobre domínio: a definição por partes dá a expressão com divisão por x^{2}-5x+6 para todos x>2. Como x=3 satisfaz x^{2}-5x+6=0, a fórmula para x>2 não é válida em x=3 (divisão por zero). Portanto o conjunto de pontos onde a função está realmente definida é
\{2\}\\ \cup\\ (2,3)\\ \cup\\ (3,\infty).
Em particular, x=3 não pertence ao domínio; x=2 está incluído (valor dado).

Passo 4

Agora simplifico a razão com o valor absoluto para x>2. Para x>2 consideramos o sinal de x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3):
  • Se 2<x<3, então (x-2)>0 e (x-3)<0, logo (x-2)(x-3)<0. Então x^{2}-5x+6<0 e
\left|x^{2}-5x+6\right|=-(x^{2}-5x+6).
Assim, para 2<x<3,
\frac{\left|x^{2}-5x+6\right|}{x^{2}-5x+6}=\frac{-(x^{2}-5x+6)}{x^{2}-5x+6}=-1.
  • Se x>3, então (x-2)>0 e (x-3)>0, logo (x-2)(x-3)>0. Então x^{2}-5x+6>0 e
\left|x^{2}-5x+6\right|=x^{2}-5x+6.
Assim, para x>3,
\frac{\left|x^{2}-5x+6\right|}{x^{2}-5x+6}=\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-5x+6}=1.
Portanto, sobre o domínio a função vale de forma equivalente:
f(x)=\begin{cases} -1, & \text{se } 2<x<3,\\[4pt] \text{(não definida)}, & \text{se } x=3,\\[4pt] 1, & \text{se } x>3,\\[4pt] 1, & \text{se } x=2. \end{cases}ã]

Passo 5

Continuidade em pontos interiores dos intervalos (2,3) e (3,\infty).
Explicação didática: uma função constante é contínua (para qualquer constante c, se g(x)\equiv c então |g(x)-c|=0 e a definição \varepsilon- \delta é imediata). Como em (2,3) temos f(x)\equiv -1 e em (3,\infty) temos f(x)\equiv 1, segue que f é contínua em todo ponto interno desses intervalos.

Passo 6

Análise no ponto x=3.
  • O ponto x=3 não pertence ao domínio da função (divisão por zero na definição), logo a função não é definida em x=3 e, por isso, não é contínua em x=3.
  • Para caracterizar a descontinuidade, calculamos os limites laterais:
\lim_{x\to3^-}f(x)=\lim_{x\to3^-}(-1)=-1, \qquad \lim_{x\to3^+}f(x)=\lim_{x\to3^+}(1)=1.
Os limites laterais são diferentes ( -1 e 1), portanto o limite bilateral não existe e a descontinuidade em x=3 é uma descontinuidade do tipo salto (jump).

Passo 7

Análise no ponto x=2.
  • O valor dado é f(2)=1.
  • Para verificar continuidade em x=2 usamos a definição: é preciso que, para toda sequência de pontos do domínio que tende a 2, as imagens tendam a f(2). Como não há pontos do domínio com x<2, só podemos aproximar 2 por valores do domínio com x>2; ou seja, o que conta é o limite à direita (pela topologia do domínio).
  • Para 2<x<3 já vimos que f(x)=-1, então
\lim_{x\to2^+}f(x)=-1.
Como \lim_{x\to2^+}f(x)=-1\neq f(2)=1, a função não é contínua em x=2.

Passo 8

Resumo do que foi encontrado (explicado nos passos anteriores): a função é constante em cada uma das duas componentes do domínio (2,3) e (3,\infty), é descontínua em x=2 porque o limite direito não coincide com f(2), e é descontínua em x=3 porque aí a função nem está definida e há salto entre os limites laterais.

Resposta

f é contínua em (2,3).
f é contínua em (3,\infty).
f é descontínua em x=2.
f é descontínua em x=3.

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