A expressão para x>2 envolve a razão \dfrac{\left|x^{2}-5x+6\right|}{x^{2}-5x+6}.
Está definido explicitamente f(2)=1.
Não há definição para x<2 no enunciado.
As perguntas implícitas que vamos responder: em quais pontos a função é contínua e em quais pontos é descontínua (analisar todo o conjunto onde a função está definida).]
Passo 2
Vamos estudar a expressão que aparece no numerador/denominador. Factorizei o polinômio do denominador:
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
Essas raízes indicam que o denominador se anula em x=2 e em x=3.
Passo 3
Observação sobre domínio: a definição por partes dá a expressão com divisão por x^{2}-5x+6 para todos x>2. Como x=3 satisfaz x^{2}-5x+6=0, a fórmula para x>2 não é válida em x=3 (divisão por zero). Portanto o conjunto de pontos onde a função está realmente definida é
\{2\}\\ \cup\\ (2,3)\\ \cup\\ (3,\infty).
Em particular, x=3 não pertence ao domínio; x=2 está incluído (valor dado).
Passo 4
Agora simplifico a razão com o valor absoluto para x>2. Para x>2 consideramos o sinal de x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3):
Se 2<x<3, então (x-2)>0 e (x-3)<0, logo (x-2)(x-3)<0. Então x^{2}-5x+6<0 e
Continuidade em pontos interiores dos intervalos (2,3) e (3,\infty).
Explicação didática: uma função constante é contínua (para qualquer constante c, se g(x)\equiv c então |g(x)-c|=0 e a definição \varepsilon-\delta é imediata). Como em (2,3) temos f(x)\equiv -1 e em (3,\infty) temos f(x)\equiv 1, segue que f é contínua em todo ponto interno desses intervalos.
Passo 6
Análise no ponto x=3.
O ponto x=3 não pertence ao domínio da função (divisão por zero na definição), logo a função não é definida em x=3 e, por isso, não é contínua em x=3.
Para caracterizar a descontinuidade, calculamos os limites laterais:
Os limites laterais são diferentes (-1 e 1), portanto o limite bilateral não existe e a descontinuidade em x=3 é uma descontinuidade do tipo salto (jump).
Passo 7
Análise no ponto x=2.
O valor dado é f(2)=1.
Para verificar continuidade em x=2 usamos a definição: é preciso que, para toda sequência de pontos do domínio que tende a 2, as imagens tendam a f(2). Como não há pontos do domínio com x<2, só podemos aproximar 2 por valores do domínio com x>2; ou seja, o que conta é o limite à direita (pela topologia do domínio).
Para 2<x<3 já vimos que f(x)=-1, então
\lim_{x\to2^+}f(x)=-1.
Como \lim_{x\to2^+}f(x)=-1\neq f(2)=1, a função não é contínua em x=2.
Passo 8
Resumo do que foi encontrado (explicado nos passos anteriores): a função é constante em cada uma das duas componentes do domínio (2,3) e (3,\infty), é descontínua em x=2 porque o limite direito não coincide com f(2), e é descontínua em x=3 porque aí a função nem está definida e há salto entre os limites laterais.
Resposta
f é contínua em (2,3). f é contínua em (3,\infty). f é descontínua em x=2. f é descontínua em x=3.