Determine o valor de L para que as funções abaixo sejam contínuas:
em
Passo 1
O enunciado pede: determinar o valor de
seja contínua em (x=0].
Informações dadas:
- A expressão para
quando é . - O valor de
em é um número desconhecido . - A pergunta é: qual deve ser
para que seja contínua em ?]
Passo 2
Vamos lembrar claramente o que significa "ser contínua em
". A função
é contínua em
se, e somente se, dois requisitos forem atendidos simultaneamente:
-
está definido (aqui já está: ). -
existe e é igual a .
Em fórmula:
Portanto precisamos calcular
(usando a definição de
para
) e igualá-lo a
.
Passo 3
Simplificar a expressão válida para
. Como
, é permitido dividir por
. Faço a divisão termo a termo:
Logo, para todo
vale
Observação didática: dividir por
só é legal porque a definição da peça diz explicitamente "se
". Isso evita dividir por zero.
Passo 4
Calcular o limite quando
. Agora que temos
para
, e sabendo que a função
é um polinômio (portanto contínua everywhere), vale que
Como polinômios são contínuos, o limite é simplesmente o valor da expressão em
:
Também se pode ver diretamente: ao aproximar
de
pela direita ou pela esquerda,
tende a
; logo o limite é
.
Passo 5
Impor a condição de continuidade: devemos ter
. Substituindo:
Portanto
deve ser
.
Pequena observação motivadora: isso diz que a descontinuidade que poderia ocorrer em
é do tipo “removível” — basta definir
igual ao limite para restaurar a continuidade.