Determine o valor de L para que as funções abaixo sejam contínuas:
f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}-x}{x}, \text { se } x \neq 0 \\\ L, \text { se } \mathrm{x}=0\end{array}\right. em \mathrm{x}=0 ;

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de L\) para que a função \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}-x}{x}, & \text{se } x\neq 0,\\[6pt] L, & \text{se } x=0 \end{cases}
seja contínua em (x=0].
Informações dadas:
  • A expressão para f(x) quando x\neq 0 é \dfrac{x^{2}-x}{x}.
  • O valor de f em x=0 é um número desconhecido L.
  • A pergunta é: qual deve ser L para que f seja contínua em 0?]

Passo 2

Vamos lembrar claramente o que significa "ser contínua em x=0". A função f é contínua em 0 se, e somente se, dois requisitos forem atendidos simultaneamente:
  1. f(0) está definido (aqui já está: f(0)=L).
  2. \displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) existe e é igual a f(0).
Em fórmula:
f \text{ contínua em }0 \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to 0} f(x)=f(0)=L.í
Portanto precisamos calcular \displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) (usando a definição de f para x\neq0) e igualá-lo a L.

Passo 3

Simplificar a expressão válida para x\neq 0. Como x\neq 0, é permitido dividir por x. Faço a divisão termo a termo:
\frac{x^{2}-x}{x}=\frac{x^{2}}{x}-\frac{x}{x}=x-1.
Logo, para todo x\neq 0 vale
f(x)=x-1.
Observação didática: dividir por x só é legal porque a definição da peça diz explicitamente "se x\neq 0". Isso evita dividir por zero.

Passo 4

Calcular o limite quando x\to 0. Agora que temos f(x)=x-1 para x\neq 0, e sabendo que a função g(x)=x-1 é um polinômio (portanto contínua everywhere), vale que
\lim_{x\to 0} f(x)=\lim_{x\to 0} (x-1).
Como polinômios são contínuos, o limite é simplesmente o valor da expressão em x=0:
\lim_{x\to 0} (x-1)=0-1=-1.
Também se pode ver diretamente: ao aproximar x de 0 pela direita ou pela esquerda, x-1 tende a -1; logo o limite é -1.

Passo 5

Impor a condição de continuidade: devemos ter \lim_{x\to 0} f(x)=f(0). Substituindo:
-1 = \lim_{x\to 0} f(x) = f(0)=L.
Portanto L deve ser -1.
Pequena observação motivadora: isso diz que a descontinuidade que poderia ocorrer em 0 é do tipo “removível” — basta definir f(0) igual ao limite para restaurar a continuidade.

Resposta

L=-1

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