Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas nos pontos indicados:
y=\frac{1}{x}, \quad x=2;

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação da reta tangente à curva dada no ponto indicado.
Informações fornecidas (peguei do enunciado):
  • A função é y=\dfrac{1}{x}.
  • O ponto indicado tem abscissa x=2.
O objetivo final é obter a equação da reta tangente à curva no ponto cuja coordenada x vale 2.

Passo 2

Primeiro precisamos do ponto da curva em coordenadas (x_0,y_0). Como x_0=2, calculo y_0 substituindo na função (peguei a fórmula y=\dfrac{1}{x} do enunciado):
y_0 = \frac{1}{2}.
Portanto o ponto de tangência é \bigl(2,\tfrac{1}{2}\bigr).

Passo 3

Agora precisamos da inclinação (coeficiente angular) da reta tangente. Conceito rápido e didático: a inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto é a derivada da função naquele ponto. A derivada dá a taxa de variação instantânea de y em relação a x, isto é, o “declive” da curva.
Para derivar y=\dfrac{1}{x} é conveniente reescrever como potência:
y = x^{-1}.
Usamos a regra do poder (power rule): para f(x)=x^{n} vale f'(x)=n x^{n-1}. Aplicando com n=-1:
y' = -1\cdot x^{-2} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}.
Aqui y' representa a derivada \dfrac{dy}{dx} e fornece a inclinação da tangente em cada x.

Passo 4

Calculo da inclinação no ponto x_0=2 (substituindo na derivada, informação obtida no passo anterior):
m = y'(2) = -\frac{1}{2^{2}} = -\frac{1}{4}.
Então a reta tangente tem coeficiente angular m=-\tfrac{1}{4}.

Passo 5

Agora construímos a equação da reta usando a forma ponto-inclinação (point-slope):
y-y_{0}=m\,(x-x_{0}),
onde (x_{0},y_{0})=\bigl(2,\tfrac{1}{2}\bigr) e m=-\tfrac{1}{4}. Substituindo:
y-\frac{1}{2} = -\frac{1}{4}\,(x-2).
Faço a simplificação passo a passo:
y-\frac{1}{2} = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2},
y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2},
y = -\frac{1}{4}x + 1.
Essa é a forma reduzida (inclinação-interseção) da reta tangente.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): ao avaliar a reta em x=2,
y(2) = -\frac{1}{4}\cdot 2 + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2},
que coincide com y_0. E o coeficiente angular usado foi m=-\tfrac{1}{4}, que veio da derivada. Tudo consistente.
Também posso dar a forma geral multiplicando por 4:
4y = -x + 4 \quad\Longrightarrow\quad x + 4y = 4,
se preferir a forma padrão.

Resposta

y = -\dfrac{1}{4}x + 1

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