Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas nos pontos indicados:
;
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação da reta tangente à curva dada no ponto indicado.
Informações fornecidas (peguei do enunciado):
Informações fornecidas (peguei do enunciado):
- A função é
. - O ponto indicado tem abscissa
.
O objetivo final é obter a equação da reta tangente à curva no ponto cuja coordenada
vale
.
Passo 2
Primeiro precisamos do ponto da curva em coordenadas
. Como
, calculo
substituindo na função (peguei a fórmula
do enunciado):
Portanto o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora precisamos da inclinação (coeficiente angular) da reta tangente. Conceito rápido e didático: a inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto é a derivada da função naquele ponto. A derivada dá a taxa de variação instantânea de
em relação a
, isto é, o “declive” da curva.
Para derivar
é conveniente reescrever como potência:
Usamos a regra do poder (power rule): para
vale
. Aplicando com
:
Aqui
representa a derivada
e fornece a inclinação da tangente em cada
.
Passo 4
Calculo da inclinação no ponto
(substituindo na derivada, informação obtida no passo anterior):
Então a reta tangente tem coeficiente angular
.
Passo 5
Agora construímos a equação da reta usando a forma ponto-inclinação (point-slope):
onde
e
. Substituindo:
Faço a simplificação passo a passo:
Essa é a forma reduzida (inclinação-interseção) da reta tangente.
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): ao avaliar a reta em
,
que coincide com
. E o coeficiente angular usado foi
, que veio da derivada. Tudo consistente.
Também posso dar a forma geral multiplicando por
:
se preferir a forma padrão.