Construa o gráfico e analise a continuidade das seguintes funções:
f(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln (x+1), \text { se } x \geq 0 \\\\ -x, \text { se } x<0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} \ln(x+1), & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0. \end{cases}
O que se pede:
  • Construir (descrever) o gráfico de f.
  • Analisar a continuidade de f em toda a reta real (ou seja, identificar onde é contínua e onde, se houver, não é).
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x\ge 0 a função é \ln(x+1).
  • Para x<0 a função é -x.
  • Não há imagens no enunciado; todas as informações estão nas expressões acima.]

Passo 2

Entender o domínio de cada ramo e pontos-chave para o gráfico.
  • O ramo \ln(x+1) exige x+1>0. Aqui ele é usado para x\ge 0, e de fato para x\ge0 temos x+1\ge1>0. Logo esse ramo está bem definido em [0,\infty).
  • O ramo -x está definido para todo x\in\mathbb{R}, e aqui é usado apenas para x<0.
  • Ponto de junção entre os ramos: x=0. É o lugar onde precisamos checar se os dois ramos “se encaixam” no gráfico.
Pontos-chave a marcar no gráfico:
  • Valor em x=0 pelo ramo x\ge0: f(0)=\ln(0+1)=\ln 1=0. Então o ponto (0,0) pertence ao gráfico.
  • Alguns pontos para orientar desenho:
    • Para o ramo linear: em x=-1 temos f(-1)=-(-1)=1; em x=-2 temos f(-2)=2.
    • Para o ramo logarítmico: em x=1 temos f(1)=\ln 2\approx0{,}693; em x=2 temos f(2)=\ln 3\approx1{,}099.

Passo 3

Desenho/descrição do ramo para x<0: f(x)=-x.
  • -x é uma reta com coeficiente angular -1 (slope -1) e intercepto na origem. Como estamos só para x<0, desenha-se a parte da reta que fica à esquerda do eixo y.
  • Valores: para x=-1 fica f(-1)=1; para x\to -\infty temos f(x)\to+\infty. Para x aproximando-se de 0 pela esquerda, f(x)=-x\to 0^+.
  • No gráfico, esse ramo chega ao ponto (0,0) pela esquerda (sem incluir valores x\ge0) — mas como o valor em 0 foi definido pelo outro ramo, veremos se há ponto aberto/fechado no desenho depois.

Passo 4

Desenho/descrição do ramo para x\ge0: f(x)=\ln(x+1).
  • \ln(x+1) é uma função logarítmica deslocada: começa em x=0 com f(0)=\ln 1=0 e cresce para \infty quando x\to\infty, porém lentamente.
  • Derivada para x>-1: \dfrac{d}{dx}\ln(x+1)=\dfrac{1}{x+1}. Em particular, no ponto x=0 a derivada é 1, então a tangente à direita de 0 tem inclinação 1.
  • Curvatura: a segunda derivada é \dfrac{d^2}{dx^2}\ln(x+1)=-\dfrac{1}{(x+1)^2}<0, logo o ramo é côncavo para baixo em [0,\infty).
  • Alguns pontos numéricos: (0,0), (1,\ln 2), (2,\ln 3). Para x\to0^+, \ln(1+x)\sim x (aproximação linear), por isso a curva sai de (0,0) com inclinação 1.

Passo 5

Montagem do gráfico todo e observação geométrica na junção x=0.
  • No lado esquerdo ( x<0) tem-se a reta y=-x que se aproxima de (0,0) com inclinação -1 (chegando por cima do eixo x porque para x<0, -x>0).
  • No lado direito ( x\ge0) tem-se a curva \ln(x+1) que parte de (0,0) com inclinação +1.
  • Como ambos os ramos dão o mesmo valor em x=0 (ambos tendem a 0 quando se aproximam de 0 e o ramo direito define f(0)=0), no gráfico o ponto (0,0) é incluído e os dois ramos se encontram ali. Visualmente aparece um “canto” no ponto (0,0) porque as inclinações laterais são diferentes (esquerda -1, direita +1).
(Sugestão prática para desenhar à mão: trace a reta y=-x para x<0 marcando (-1,1), (-2,2); trace a curva \ln(1+x) para x\ge0 marcando (0,0), (1,\ln2), (2,\ln3). Unir os ramos em (0,0).)

Passo 6

Relembrando a definição de continuidade (de modo simples e aplicável na prova).
  • Uma função g é contínua em um ponto a se e somente se \lim_{x\to a} g(x)=g(a). Isso exige que o limite exista e seja igual ao valor da função naquele ponto.
  • Para um ponto interior de um ramo (onde a função é dada por uma expressão conhecida), costuma-se usar que somas, produtos, composições de funções contínuas são contínuas; polinômios e funções lineares são contínuas em toda parte; a função \ln é contínua em seu domínio.
  • Assim, para verificar a continuidade de f basta:
    1. Verificar continuidade em pontos estritamente negativos ( x<0).
    2. Verificar continuidade em pontos estritamente positivos ( x>0).
    3. Verificar continuidade em x=0 (ponto de junção).

Passo 7

Aplicar a verificação de continuidade ponto a ponto.
  • Para x<0: o ramo é f(x)=-x. A função -x é um polinômio (linear) e, portanto, contínua em todo \mathbb{R}. Assim f é contínua para todo x<0.
  • Para x>0: o ramo é f(x)=\ln(x+1). A função \ln é contínua em seu domínio (0,\infty) para o argumento x+1 isso corresponde a x>-1; em particular em todo (0,\infty) ela é contínua. Portanto f é contínua para todo x>0.
  • Em x=0: calcular limites laterais e comparar com f(0).
    • Limite à esquerda: \lim_{x\to0^-} f(x)=\lim_{x\to0^-}(-x)=0.(Porque -x é contínua, e -0=0.)
    • Limite à direita: \lim_{x\to0^+} f(x)=\lim_{x\to0^+}\ln(x+1)=\ln 1=0.
    • Valor da função em 0: f(0)=\ln(0+1)=0.
    • Como \lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x)=f(0)=0, o limite \lim_{x\to0}f(x) existe e é igual a f(0). Logo f é contínua em x=0.
Conclusão desta etapa: f é contínua para x<0, para x>0 e também em x=0. Portanto f é contínua em toda a reta real \mathbb{R}.
Observação extra (útil para prova, mas não pedida explicitamente): embora f seja contínua em x=0, não é diferenciável ali porque as derivadas laterais são diferentes:
f'_-(0)=\lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^-}\frac{-x-0}{x}=-1,
f'_+(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(1+x)-0}{x}=\left.\frac{d}{dx}\ln(1+x)\right|_{x=0}=1.
Como -1\ne1, f' não existe em 0. (Isto explica o “canto” visual no gráfico.)

Resposta

Gráfico: para x<0 é a reta y=-x (parte à esquerda da origem); para x\ge0 é a curva y=\ln(1+x) (começando em (0,0)); os dois ramos se encontram em (0,0), formando um canto.
Continuidade: f é contínua em todo \mathbb{R} (continuidade em cada ramo e continuidade em x=0).

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