Analise a continuidade das seguintes funções nos pontos indicados:
b) f(z)=\left\{\begin{array}{c}\frac{z^{2}+4}{z-2 i}, z \neq 2 i \\\\ 4 i, z=2 i\end{array} ; z_{0}=2 i\right.
e pede para analisar a continuidade no ponto z_{0}=2i.
Informações relevantes fornecidas:
A expressão para f(z) quando z\neq 2i é \dfrac{z^{2}+4}{z-2i}.
O valor atribuído em z=2i é f(2i)=4i.
A pergunta concreta é: a função é contínua em z_{0}=2i? (ou seja, o limite \lim_{z\to 2i}f(z) existe e é igual a f(2i)?).]
Passo 2
Lembrete do conceito necessário (explicado devagar): para uma função complexa f ser contínua em z_{0} é preciso e suficiente que
o limite \lim_{z\to z_{0}} f(z) exista (mesmo valor vindo por qualquer caminho no plano complexo) e
esse limite seja igual ao valor da função no ponto, isto é \lim_{z\to z_{0}} f(z)=f(z_{0}).
Aqui vamos aplicar exatamente isso em z_{0}=2i. Primeiro vamos tentar calcular \lim_{z\to 2i} f(z).
Passo 3
Observe a expressão quando z\neq 2i:
\frac{z^{2}+4}{z-2i}.
Fazer fatoração do numerador é uma técnica padrão quando aparece um polinômio somado com número que coincide com quadrado de algo imaginário. Note que
z^{2}+4 = z^{2}-(2i)^{2},
porque (2i)^{2} = -4. Assim podemos usar fatoração da diferença de quadrados:
z^{2}-(2i)^{2}=(z-2i)(z+2i).
Portanto, para z\neq 2i podemos escrever
\frac{z^{2}+4}{z-2i}=\frac{(z-2i)(z+2i)}{z-2i}.
Passo 4
Como estamos na parte onde z\neq 2i, podemos cancelar o fator (z-2i) no numerador e denominador. Esse cancelamento é válido somente para z\neq 2i, que é exatamente o caso da expressão original. Após cancelar, obtemos uma forma simplificada:
Aqui é importante entender: a função definida por \dfrac{z^{2}+4}{z-2i} coincide com a função polinomial z+2i em todo conjunto onde está definida (isto é, em \mathbb{C}\setminus\{2i\}). A diferença é apenas o que acontece no ponto isolado z=2i.
Passo 5
Agora calcule o limite usando a forma simplificada. Polinômios (e funções afins como z+2i) são contínuos em todo o plano complexo, então o limite quando z\to 2i é simplesmente o valor obtido substituindo z=2i:
Uma explicação rápida sobre por que isso garante existência do limite: como a função iguala z+2i em todos os pontos suficientemente próximos de 2i (exceto o próprio 2i), ao nos aproximarmos de 2i por qualquer caminho no plano complexo o valor de f(z) aproxima-se de z+2i avaliado em 2i, isto é 4i. Assim o limite existe e vale 4i.
Como o limite existe e é igual ao valor da função em z_{0}=2i, concluímos que f é contínua em z_{0}=2i.
Comentário didático final (curto e amigo): originalmente a expressão tinha uma “aparente” descontinuidade em 2i pelo denominador zero, mas ao fatorar e simplificar vimos que essa descontinuidade é removível — definindo f(2i)=4i a função fica bem comportada e contínua ali.